若a+b+c=3,求a²+b²+c²的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 08:11:11
若a+b+c=3,求a²+b²+c²的取值范围

若a+b+c=3,求a²+b²+c²的取值范围
若a+b+c=3,求a²+b²+c²的取值范围

若a+b+c=3,求a²+b²+c²的取值范围
楼上两位的答案都对,我来详细说说这类题的解题思路吧:
1)首先把已知条件和求值齐次;
2)利用已知条件得出求值的范围.
1)首先齐次:
a²+b²+c²=(a+b+c)²-2ab-2bc-2ac
2)已知条件是a+b+c=3,应将齐次等式转换为只包含“a+b+c”和“a²+b²+c²”的不等式:
因为:
a²+b²≥2ab b²+c²≥2bc a²+c²≥2ac
所以
a²+b²+c²=(a+b+c)²-2ab-2bc-2ac≥(a+b+c)²-(a²+b²)-(b²+c²)-(a²+c²)
即3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²
所以a²+b²+c²≥3

由(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²≥0,得 a²+b²+c²≥ab+bc+ca
而(a+b+c)²=9=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)≤3(a²+b²+c²)
故 a²+b²+c²≥3

建立空间直角坐标系
三坐标轴分别是a,b,c
则a+b+c=3是一个过A(3,0,0) B(0,3,0) C (0,0,3) 的平面;
设a²+b²+c²=k² (k≥0)
则a²+b²+c²=k²是一个以k为半径,原点为球心的球壳;
球壳与平面有公共点时的k²值就是...

全部展开

建立空间直角坐标系
三坐标轴分别是a,b,c
则a+b+c=3是一个过A(3,0,0) B(0,3,0) C (0,0,3) 的平面;
设a²+b²+c²=k² (k≥0)
则a²+b²+c²=k²是一个以k为半径,原点为球心的球壳;
球壳与平面有公共点时的k²值就是a²+b²+c²的取值;
由几何关系我们可以知道a²+b²+c²是没有最大值的k可以取到任意大;
而原点到平面a+b+c=3的距离就是k的最小值;
AOBC的体积是V=1/6 * 3 * 3 *3=9/2
三角形ABC的面积是S=1/2 * 3√2 * 3/2√6= 9/2 √3
ABC面对应的高h=3V/S=√3
此时a=b=c=1 ,k=√3 ,a²+b²+c²=3
所以 a²+b²+c²的取值范围是[3,+∝)

LZ也可以参考楼下的解法;我的是解析法,解析法的优点是不用费脑筋去想模型,只要肯算,一定能成功,缺点是有一定计算量;构造法的优点是比较简洁,不过如果模型选错,就会迷惑无所得;
考试大题的话,我推荐解析法,理由是没有风险

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