圆锥曲线

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2022/06/28 04:59:44
圆锥曲线

圆锥曲线
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圆锥曲线
【1】设点C(x,y)
点C到点F(0,1)的距离:|CF| =√[(x-0)^2+(y-1)^2]
点C到直线y=-1的距离:d = |y+1|
由题意得,d = |CF|
则,√[x^2+(y-1)^2] = |y-1|
整理得:y=1/4 x^2
所以,动点C的轨迹方程是:y = 1/4 x^2
【2】设点P(x1,y1) ,Q(x2,y2)
直线L2过点F(0,1)
则,可设直线L2的方程是:y=kx+1
与点C的轨迹方程:y = 1/4 x^2
联立得:x^2 - 4kx - 4 = 0
则,x1+x2 = 4k ,x1 * x2 = -4
y1+y2 = 1/4(x1)^2 + 1/4(x2)^2 = 1/4 * [ (x1+x2)^2 - 2x1*x2 ] = 1/4 *[ (4k)^2 - 2*(-4) ]
= 4k^2+2
y1 * y2 = 1/4(x1)^2 * 1/4(x2)^2
=1
直线L2与直线L1的交点R(-2/k ,-1),且可得出k≠0
则,→RP = (x1+2/k ,y1+1)
→RQ =(x2+2/k ,y2+1)
→RP * →RQ = (x1+2/k)*(x2+2/k) + (y1+1)*(y2+1)
= x1*x2 + 2/k*(x1+x2) + 4/k^2 + y1*y2 + y1+y2 + 1
= -4 + 2/k * 4k + 4/k^2 + 1 + 4k^2+2 +1
= 4*(k^2+1/k^2) + 8
有倒数关系,利用均值不等式求最值.
因为,k^2>0 ,1/k^2>0
所以,4*(k^2+1/k^2) + 8
≥4*[2*√(k^2 * 1/k^2)] +8
= 4*2 + 8
=16
当且仅当 k^2=1/k^2 ,即k=±1时取等号.
所以,→RP * →RQ 的最小值是 16
此时直线L2的方程是:y = ±x + 1