椭圆x^2/a^2+y^2/b^2 =1,两焦点F1F2,P为椭圆上一点,角F1PF2=α,求S△PF1F2

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2 =1,两焦点F1F2,P为椭圆上一点,角F1PF2=α,求S△PF1F2
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2 =1,两焦点F1F2,P为椭圆上一点,角F1PF2=α,求S△PF1F2

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2 =1,两焦点F1F2,P为椭圆上一点,角F1PF2=α,求S△PF1F2
这个是焦点三角形面积公式,S△PF1F2=b²tan(α/2)
证明如下：
设|PF1|=m,|PF2|=n
m+n=2a （1）
由余弦定理
m²+n²-2mncosα=4c² （2）
（1）² -（2）
∴ 2mn(1+cosα)=4a²-4c²
∴mn=2b²/(1+cosα)
∴S=(1/2)mnsinα
= b²sinα/(1+cosα)
=2b²sin(α/2)cos(α/2)/[2cos²(α/2)]
=b²sin(α/2)/cos(α/2)
=b²*tan(α/2)

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