P是△ABC所在平面α外一点,O是P点在α内的射影,若PA,PB,PC两两垂直,证O是△ABC的垂心

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/28 16:35:52
P是△ABC所在平面α外一点,O是P点在α内的射影,若PA,PB,PC两两垂直,证O是△ABC的垂心

P是△ABC所在平面α外一点,O是P点在α内的射影,若PA,PB,PC两两垂直,证O是△ABC的垂心
P是△ABC所在平面α外一点,O是P点在α内的射影,若PA,PB,PC两两垂直,证O是△ABC的垂心

P是△ABC所在平面α外一点,O是P点在α内的射影,若PA,PB,PC两两垂直,证O是△ABC的垂心
根据三垂线定理!
连接AO并延长至D(D是AO与BC的交点)
则AP是平面ABC的斜线,AD是AP在平面ABC上的射影.
因为AP垂直PB,AP垂直PC
所以AP垂直平面PBC
所以AP垂直BC
现有 斜线AP垂直面ABC上的一直线BC
则由射影定理,斜线AP的射影AD也垂直BC!
即AD为△ABC垂线(也就AP为垂线)
同理可证,BP,CP都是△ABC的垂线!
所以O为△ABC的垂心!

这是立体几何里应该作为一个基本定理需要记住并且能应用的,它的证明可以由三垂线来行到,比较容易的,只需证明PA,PB,PC三条线的射影是三角形ABC的高,从而O为三条高线的交点即为垂心了.

连接OA延长交BC于E
因为PA⊥PB,PA⊥PC
所以PA⊥三角形PBC所在的平面
所以三角形PEA⊥三角形PBC所在的平面
所以AE⊥BC
同理证明可以得到O是三角形ABC三边上的高的交点
所以O是△ABC的垂心

P是△ABC所在平面外一点,O是P点在平面ABC上的射影若P到△ABC三边的距离相等,且射影在△ABC内,则O是△ABC P是△ABC所在平面外一点,O是点P在平面α上的射影,若△ABC是直角三角形,且PA=PB-PC求O是△ABC的什么心? P是△ABC所在平面α外一点,O是点P在平面α内的射影,若PA=PB=PC,且AB=AC,那么O点在( )线上?P是△ABC所在平面α外一点,O是点P在平面α内的射影,若PA=PB=PC,且AB=AC,那么O点在( )线上?我填在∠A的角平 P是△ABC所在平面α外一点,O是P点在α内的射影,若PA,PB,PC两两垂直,证O是△ABC的垂心 P是△ABC所在平面α外一点,O是P点在α内的射影,若PA⊥BC,PB⊥AC,则O是△ABC的____? P是△ABC所在平面α外一点,O是P点在α内的射影,若PA⊥BC,PB⊥AC,则O是△ABC的____?(求详实证明) 1、若P为△ABC所在平面外一点,且PA=PB=PC,求证点P在△ABC所在平面内的射影是△ABC的外心.2、平行四边形ABCD所在平面α外有一点,且PA=PB=PC=PD,求证:点P与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于AB、 几道高中立体几何题,急,P是△ABC所在平面α外一点,O是点P在平面α内的射影,若P点到△ABC的三个顶点等距离,那么O点是△ABC的——心,若P点到△ABC的三边等距离,且O点在△ABC内部,那么O点是△ABC P是△ABC所在平面α外一点,O是P点在α内的射影,若PA⊥BC,PB⊥AC,则O是△AB 点P是△ABC所在平面外一点,且点P到△ABC三个顶点距离相等, 则点P在△ABC所在平面上的影射是△ABC的.点P是△ABC所在平面外一点,且点P到△ABC三个顶点距离相等, 则点P在△ABC所在平面上的影射是 已知点p是三角形ABC所在平面a外的一点,点O是点p在平面a上的射影.(1)若点p到三角形的三边距离相等,点O在三角形ABC内,则点O是三角形ABC的什么心?内心)(2)若点p到三角形ABC的三个顶点距离相 P是三角形ABC所在平面外一点O是P在平面内射影若PA= PB =PC 则O是三角形的什么心 几何 (6 11:58:46)已知三角形ABC,P是平面ABC外一点,点O是点P在平面ABC上的射影.1)若P到三角形ABC的三个顶点的距离相等,那点O一定是ABC的-------心.2)若P到三角形ABC的三边所在的直线的距离相等且O 已知三角形ABC,点P是平面ABC外一点,点o是点p在平面ABC上的射影,且点o在三角形ABC内若点P到三角形ABC的三边所在直线的距离相等,则点o一定是三角形ABC的?心请给出证明! P是三角形ABC所在平面外一点,O是P点在平面a上的射影,若PA,PB,PC两两垂直,O是三角形的什么心 P是正△ABC所在平面外的一点,已知PA=PB=PC证明点P的射影在△ABC的重心上 如图,点P是△ABC所在平面外一点,PA,PB,PC两两垂直,且PO⊥平面ABC于点O,则点O是△ABC的外心,内心,垂心,重心? P是三角形ABC所在平面&外的一点,P到三角形ABC三边的距离相等,O为P在平面&内的射影,且在三角形ABC内.求证:O是三角形ABC的内心.