圆锥曲线题求解

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2022/08/07 23:58:55
圆锥曲线题求解

圆锥曲线题求解
圆锥曲线题求解

圆锥曲线题求解
(1)以下a、b表示向量
因|a|+|b|=4
则√[(x+√3)^2+y^2]+√[(x-√3)^2+y^2]=4
即√{[x-(-√3)]^2+(y-0)^2}+√[(x-√3)^2+(y-0)^2]=4
上式表明点M(x,y)到点(-√3,0)、(√3,0)的距离和为定值4
显然点M的轨迹是焦点在x轴的椭圆
易知c=√3,2a=4即a=2
则b^2=a^2-c^2=1
所以M的轨迹C(椭圆)方程为x^2/4+y^2=1
事实上,由√[(x+√3)^2+y^2]+√[(x-√3)^2+y^2]=4移项、平方、再移项、再平方可得到同样的结果
(2)以下OA、OB表示向量
显然P在椭圆外且在y轴上
若直线L与y轴重合
易知A(0,1)、B(0,-1)
易知OA=(0,1),OB=(0,-1)
则OA*OB=-1,显然与题设不符
所以直线L不与y轴重合,即直线L斜率存在
令直线L:y=kx+2(点斜式)
令直线L与椭圆交点A(x1,y1)、B(x2,y2)
联立直线L与椭圆C方程得(1+4k^2)x^2+16kx+12=0
由韦达定理有x1+x2=-16k/(1+4k^2),x1x2=12/(1+4k^2)
因A、B均在直线L上
则y1=kx1+2,y2=kx2+2
则y1y2=k^2x1x2+2k(x1+x2)+4=(4-4k^2)/(1+4k^2)
易知OA=(x1,y1)、OB=(x2,y2)
则OA*OB=x1x2+y1y2=-16k/(1+4k^2)+(4-4k^2)/(1+4k^2)=-4(k^2+4k-1)/(1+4k^2)=12/5
即17k^2+20k-2=0
由此求出k(两个值)
再由tanα=k求出直线L倾斜角