一道大一的高数[0,1] 连续(0,1)可导 f(0)=0证:§f'(§)+f(§)=f'(§)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/28 19:16:05
一道大一的高数[0,1] 连续(0,1)可导 f(0)=0证:§f'(§)+f(§)=f'(§)

一道大一的高数[0,1] 连续(0,1)可导 f(0)=0证:§f'(§)+f(§)=f'(§)
一道大一的高数
[0,1] 连续(0,1)可导 f(0)=0
证:§f'(§)+f(§)=f'(§)

一道大一的高数[0,1] 连续(0,1)可导 f(0)=0证:§f'(§)+f(§)=f'(§)
设F(x)=(x-1)f(x),则F(0)=F(1)=0;
又因为F(x),[0,1] 连续(0,1)可导;
所以,存在§(in [0,1]),使得(dF/dx|x=§) = 0,
即:§f'(§)+f(§)=f'(§)

【(x-1)*f(x)】'=f(x)+(x-1)*f'(x) 由已知(0,1)可导,同理【(x-1)*f(x)】也在(0,1)可导
令F(x)=(x-1)*f(x) F(0)=-1*0=0=F(1)=0*f(1) 由罗尔定理知:在(0,1),存在§,使F'(x)=0 所以f(x)+(x-1)*f'(x)=0, 故得证