等腰三角形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=12,AD=4,∠B=60°,点P是腰AB上的一个动点.（1）求BC的长；（2）如图1,如果点M在BC上,BM=12,PM平分梯形ABCD的面积,求出此时PB的长；（3）过点P作直线PM,是否存在PM将梯形ABC

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 03:10:56

等腰三角形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=12,AD=4,∠B=60°,点P是腰AB上的一个动点.（1）求BC的长；（2）如图1,如果点M在BC上,BM=12,PM平分梯形ABCD的面积,求出此时PB的长；（3）过点P作直线PM,是否存在PM将梯形ABC
等腰三角形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=12,AD=4,∠B=60°,点P是腰AB上的一个动点.
（1）求BC的长；
（2）如图1,如果点M在BC上,BM=12,PM平分梯形ABCD的面积,求出此时PB的长；
（3）过点P作直线PM,是否存在PM将梯形ABCD的周长和面积同时平分?如存在,求出此时PB的长；如不存在,说出理由.
如图

等腰三角形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=12,AD=4,∠B=60°,点P是腰AB上的一个动点.（1）求BC的长；（2）如图1,如果点M在BC上,BM=12,PM平分梯形ABCD的面积,求出此时PB的长；（3）过点P作直线PM,是否存在PM将梯形ABC
⑴过A作AE∥CD交BC于E,∵AD∥BC,∴AECD中平行四边形,∴CE=AD=4,AE=CD=AB
∵∠B=60°,∴ΔABE是等边三角形,∴BE=AB=12,∴BC=16；
⑵过A作AH⊥BC于H,AH=AB*sinB=6√3,
S梯形=1/2(4+16)*6√3=60√3.
当SΔPBM=1/2S梯形=30√3时,高=2×30√3/12=5√3,
∴PB=5√3/(√3/2)=10；
⑶梯形周长为2×12+4+16=44,想法把周长先平分同为22,再考虑面积平分：
①当P与A重合即PB=12,PM=10,
ΔP(A)BM与梯形AMCD同高,AD+CM=10,ΔPBM的底也为10,面积就相等.
②PB=10,BM=12时,⑴中ΔABM(E)是等边三角形,对称性地把P向A移动2,M不动,也有同样的同时平分周长与面积.
PM把梯形的周长与面积同时平分.

全部展开

（1）BC=16，延长BA，CD交于点E。应为AD∥BC，∠B=60°，ABCD为等腰梯形。所以三角形EBC和三角形ADE均为等边三角形，所以AE=AD=4，所以EB=16=BC
（2）因为三角形EBC和三角形ADE均为等边三角形，所以S三角形EBC=64√ 3，S三角形ADE=4√3，所以S梯形ABCD=60√3，所以S三角形PBM=30√3，因为BM=12，作PQ垂直于BM ,则PQ=5√3.作MN垂直于PB。因为∠B=60°，所以∠NMB=30°，所以NB=1/2BM=6。因为MN垂直于PB，由勾股所以MN方=BM方-BN方。所以MN方=108.所以MN=6√ 3。因为S三角形PBM=30√3，所以PB=10。
（3）PB=10。
由第二问问题直接得面积平分。
又因为C梯形ABCD=AB+BC+CD+AD=12+16+4+12=44.而BP+BM=10+12=22所以周长也平分。

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