已知函数f(x)=sinx+cosx,f'(x)是f(x)的导函数(1)求函数F(x)=f(x)f'(x)+f的平方(x)的最大值和最小正周期.(2)若f(x)=2f'(x),求tan(x-4分之太)的值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 20:30:08
已知函数f(x)=sinx+cosx,f'(x)是f(x)的导函数(1)求函数F(x)=f(x)f'(x)+f的平方(x)的最大值和最小正周期.(2)若f(x)=2f'(x),求tan(x-4分之太)的值

已知函数f(x)=sinx+cosx,f'(x)是f(x)的导函数(1)求函数F(x)=f(x)f'(x)+f的平方(x)的最大值和最小正周期.(2)若f(x)=2f'(x),求tan(x-4分之太)的值
已知函数f(x)=sinx+cosx,f'(x)是f(x)的导函数
(1)求函数F(x)=f(x)f'(x)+f的平方(x)的最大值和最小正周期.(2)若f(x)=2f'(x),求tan(x-4分之太)的值

已知函数f(x)=sinx+cosx,f'(x)是f(x)的导函数(1)求函数F(x)=f(x)f'(x)+f的平方(x)的最大值和最小正周期.(2)若f(x)=2f'(x),求tan(x-4分之太)的值
(1)已知函数f(x)=sinx+cosx,则f′(x)=sinx-cosx.
代入F(x)=f(x)f′(x)+[f(x)]2
易得
F(x)=cos2x+sin2x+1=2sin(2x+π4)+1
当 2x+π4=2kπ+π2⇒x=kπ+π8(k∈Z)时,[F(x)]max=2+1=3
最小正周期为 T=2π2=π
(2)由f(x)=2f'(x),易得sinx+cosx=2cosx-2sinx.
解得 tanx=13
∴ tan(x-π/4)=[tanx-tan(π/4)]/[1+tanxtan(π/4)]=(13-1)/(1+13)=12/13