作业帮三棱锥S-ABC中,三角形ABC是边长为4的正三角形,SA=SC=2根号3,SB=2根号5,M,N分别是AB,SB的中点.（1）求二面角N-CM-B的余弦值（2）求点B到平面CMN的距离
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 18:42:19
三棱锥S-ABC中,三角形ABC是边长为4的正三角形,SA=SC=2根号3,SB=2根号5,M,N分别是AB,SB的中点.（1）求二面角N-CM-B的余弦值（2）求点B到平面CMN的距离
三棱锥S-ABC中,三角形ABC是边长为4的正三角形,SA=SC=2根号3,SB=2根号5,M,N分别是AB,SB的中点.
（1）求二面角N-CM-B的余弦值
（2）求点B到平面CMN的距离
三棱锥S-ABC中,三角形ABC是边长为4的正三角形,SA=SC=2根号3,SB=2根号5,M,N分别是AB,SB的中点.（1）求二面角N-CM-B的余弦值（2）求点B到平面CMN的距离
（1）取AC中点记为D,连BD、CM,交于O,取BD中点记为P,可算得：
BD=2√3,SD=2√2,BO=BD*2/3=4√3/3（O为底面正三角形的中心）,
BP=√3,OP=4√3/3-√3=√3/3=BO/4,
过P作PQ垂直于CM于Q,则PQ//BM,所以PQ=BM/4=1/2,连NQ,
下面来证角NQP即为二面角N-CM-B的平面角：
由BD=2√3,SD=2√2,SB=2√5,得SD⊥BD,又SD⊥AC,所以SD⊥平面ABC,
而NP//SD(NP为三角形SBD的中位线),则NP⊥平面ABC,平面ABC即平面BCM,
所以NP⊥平面BCM,所以NP⊥CM而PQ⊥CM,所以CM⊥面NPQ,所以CM⊥NQ,
即PQ⊥CM且CM⊥NQ,所以角PQN即为二面角的平面角,
RT三角形NPQ中,NP=SD/2=√2,PQ=1/2,所以NQ=3/2,所以角PQN的余弦为1/3,
即二面角N-CM-B的余弦值为1/3.
（2）过P作PR⊥NQ于R,前面已证得CM⊥面NPQ,所以有CM⊥PR,则PR⊥平面CMN,
PR即RT三角形NPQ斜边上的高,可算得：PR=√2/3,
如过B作平面CMN的垂线段BT,则三角形BOT与POR相似（BT//PR）,所以BT=4√2/3.
即B到平面CMN的的距离为4√2/3.
运算量挺大的,有点不确信!
先要先建立适当的直角坐标系，而所给的图形没有现成的垂直关系，但考虑到正三角形自身的对称性，不妨取AC中点O，连结OS、OB.这样就可以建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.要想证明AC⊥SB，只须证明 • =0，由已知不难推得证明：
A（2，0，0），B（0，2 ，0），C（-2，0，0）， S（0，0，2倍根号2），M(1， 根号3，0)，N(0，根号3 根号2， ).∴向量...
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先要先建立适当的直角坐标系，而所给的图形没有现成的垂直关系，但考虑到正三角形自身的对称性，不妨取AC中点O，连结OS、OB.这样就可以建立如图所示空间直角坐标系O-xyz.要想证明AC⊥SB，只须证明 • =0，由已知不难推得证明：
A（2，0，0），B（0，2 ，0），C（-2，0，0）， S（0，0，2倍根号2），M(1， 根号3，0)，N(0，根号3 根号2， ).∴向量AC =（-4，0，0），向量SB =（0，2 ，2 ），则 向量AC• 向量SB=（-4，0，0）•（0，2 ，2 ）=0由此命题得证证明：
（1）由上面可知： 向量CM=（3，根号3 ，0）， 向量MN=（-1，0， 根号2）.
设向量n =（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，有：
向量CM•向量n =3x+根号3 y=0，向量MN• 向量n=-x+根号2 z=0
取z=1，则x= 根号2，y=-根号6 ，
∴向量n =(根号2 ，-根号6 ，1)，
又 向量OS=(0，0，2根号2 )为平面ABC的一个法向量，
∴cos( 向量n，向量OS )= 三分之一 .
∴二面角N-CM-B的大小为arccos 三分之一
(2)由（1）得向量MB=（-1，√3， 0）.向量n =(√2 ，-√6 ，1)为平面CMN的一个法向量，
∴点B到平面CMN的距离d=｜向量MB*向量n｜/｜向量n｜=4√2/3
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