作业帮已知：如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC．（1）求证：BG=FG；（2）若AD=DC=2,求AB的长．
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 06:13:40
已知：如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC．（1）求证：BG=FG；（2）若AD=DC=2,求AB的长．
已知：如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC．
（1）求证：BG=FG；
（2）若AD=DC=2,求AB的长．
已知：如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC．（1）求证：BG=FG；（2）若AD=DC=2,求AB的长．
（1）当F落在AC上时.如图1.先证⊿AGF≌⊿FEC,这个不难证.
FE//AB => ∠FAG=∠CFE （同位角原理）
∠AGF=∠FEC = 90度
以上两点=>⊿AGF≌⊿FEC
AG/FE=GF/EC （相似三角形对应边成比例）
由上式变换得FE*GF=AG*EC
BE=FE=BG=GF
所以：BE*BE=AG*EC=（AB-BG）（BC-BE）
BE*BE=（3-BE）（6-BE）=18-9BE+BE*BE
解得 BE=2
（2）这个比较难,你注意看.
假设这样的直角三角形存在,那么通过平移t使B到B’,E到E’,得到如下两种可能,先看图2
假设⊿B'MD为直角三角形,∠B'MD为直角,延长E'M,AD,相交于点N.
B'M^2+DM^2=B'D^2 （勾股定理）
B'M^2=B'E'^2+E'M^2 (勾股定理）
DM^2=DN^2+MN^2 （勾股定理）
B'D^2=B'E^2+DE^2 (勾股定理）
由上推出：
B'E^2+DE^2=B'E'^2+E'M^2+MN^2+DN^2 (1)
由图可以证 ⊿CED≌⊿CE'F' （这个不难证）
EF/EC=E'M/E'C=2/4=1/2 (相似三角形对应边成比例,）
E'M= E'C/2
EE'= t => E'C=EC-EE'=4-t
由上可推出：E'M=E'C/2=2-t/2 (2) MF'=t/2 (3)
B'E=BE-BB'=2-t (4) DE=AB=3 (5)
B'E'=2 正方形边长 (6) MN=MF'+F'N=t/2+1 (7)
DN=EE'=t (8)
将（2)至（8） 套入上面（1）式得
（2-t）^2+3^2= 2^2+ (2-t/2)^2+ (t/2+1)^2+t^2
展开 4-4t+t^2+9=4+4-2t+(t/2)^2+(t/2)^2+t+1+t^2
化简 t^2-4t+13=9-t+(3/2)t^2
(t^2)/2+3t-4=0
t^2+6t-8=0
t1=［-6+√（6^2+4*8)］/2 ； t2=［-6-√6^2+4*8)］/2 （韦达定理）
可知 t 必须为正数,所以t2去掉,t1=[√（6^2+4*8)-6] / 2 =( √68 - 6)/2≈(8.246-6)/2=1.123
这是第一种情况,t≈1.123
第二种情况看图3
同样假设⊿B'MD为直角三角形,∠DB'M为直角,延长E'M,AD,相交于点N.
B'M^2+B'D^2= DM^2 （勾股定理）
B'M^2=B'E'^2+E'M^2 (勾股定理）
DM^2=DN^2+MN^2 （勾股定理）
B'D^2=B'E^2+DE^2 (勾股定理）
由上推出：
DN^2+MN^2=B'E'^2+E'M^2+B'E^2+DE^2 (1)
跟上述同样方法可得
E'M=E'C/2=(4-t)/2=2-t/2 (2) MF'=2-ME'=2-(2-t/2)=t/2 (3)
DN=t (4) MN=1+t/2 (5)
B'E'=2 正方形边长 (6) B'E=BB'-BE=t-2 (7)
DE=AB=3 已知条件 （8）
将(2)至(8)套入（1）得
t^2+(1+t/2)^2=2^2+(2-t/2)^2+(t-2)^2+3^2
展开 t^2+1+t+(t/2)^2=4+4-2t+(t/2)^2+t^2-4t+4+9
化简 (5/4)t^2+t+1=21-6t+(5/4)t^2
7t=20
解得 t=20/7≈2.857
终上：无论 t =1.123 或 t = 2.857 都小于当E移动到与C重合时