已知圆C：(x+4)^2+y^2=4,圆D的圆心D在Y轴上且与圆C外切,圆D与Y轴交于A、B两点,且点P（-3,0）1、若点D在Y轴上运动时,求∠APB的最大值2、在X轴上是否存在点Q,当圆D在Y轴上运动时,∠AQB为定值?若存在,

已知圆C：(x+4)^2+y^2=4,圆D的圆心D在Y轴上且与圆C外切,圆D与Y轴交于A、B两点,且点P（-3,0）1、若点D在Y轴上运动时,求∠APB的最大值2、在X轴上是否存在点Q,当圆D在Y轴上运动时,∠AQB为定值?若存在,
已知圆C：(x+4)^2+y^2=4,圆D的圆心D在Y轴上且与圆C外切,圆D与Y轴交于A、B两点,且点P（-3,0）
1、若点D在Y轴上运动时,求∠APB的最大值
2、在X轴上是否存在点Q,当圆D在Y轴上运动时,∠AQB为定值?若存在,求出Q的坐标；若不存在,说明理由.

已知圆C：(x+4)^2+y^2=4,圆D的圆心D在Y轴上且与圆C外切,圆D与Y轴交于A、B两点,且点P（-3,0）1、若点D在Y轴上运动时,求∠APB的最大值2、在X轴上是否存在点Q,当圆D在Y轴上运动时,∠AQB为定值?若存在,
设已知圆圆心为M1 相切圆圆心为M2
设相切圆方程为：
x^2+(y-a)^2=r^2 (a和r>0) (因为y轴上面和y轴下面的情况完全对称 所以考虑其中一种即可)
有勾股定理：
OM2^2+OM1^2=M1M2^2
所以a=根号下（2+r）^2-16
所以不妨设A（0,a+r） B（0,a-r）
kAP=(a+r)/3 kBP=(a-r)/3
将a=根号下（2+r）^2-16代入夹角公式计算后
得tg角APB=6r/(4r-3)
因为r>=2 要使6r/(4r-3)有最大值
即r=2 最大值为12/5
最大角为arctg12/5
若存在 设此点为（-b,0）
则夹角公式代入后得（其实就是将3替换成b）
2br/(b^2+2r-12) 因为r可取R+ 所以当且仅当b=0时 tg角AQB为定值
但可能为0或180度 所以不存在

路过

1）由已知中圆C：（x+4）2+y2=4，点D（0，3），我们易求出CD的长，进而求出圆D的半径，求出A，B两点坐标后，可由tan∠APB=kBP得到结果．
（2）设D点坐标为（0，a），圆D半径为r，我们可以求出对应的圆D的方程和A，B两点的坐标，进而求出∠APB正切的表达式（含参数r），求出其最值后，即可根据正切函数的单调性，求出∠APB的最大值；
（3）假设存在点Q（b，0）...

全部展开

1）由已知中圆C：（x+4）2+y2=4，点D（0，3），我们易求出CD的长，进而求出圆D的半径，求出A，B两点坐标后，可由tan∠APB=kBP得到结果．
（2）设D点坐标为（0，a），圆D半径为r，我们可以求出对应的圆D的方程和A，B两点的坐标，进而求出∠APB正切的表达式（含参数r），求出其最值后，即可根据正切函数的单调性，求出∠APB的最大值；
（3）假设存在点Q（b，0），根据∠AQB是定值，我们构造关于b的方程，若方程有解，则存在这样的点，若方程无实根，则不存在这样的点．（1）∵|CD|=5，
∴圆D的半径r=5-2=3，此时A、B坐标分别为A（0，0）、B（0，6）
∴tan∠APB=kBP=2（3分）
（2）设D点坐标为（0，a），圆D半径为r，则（r+2）2=16+a2，A、B的坐标分别为（0，a-r），（0，a+r）
∴kPA=a-r 3 ，kPB=a+r 3∴tan∠APB=a+r 3 -a-r 3 1+a+r 3 •a-r 3 =6r a2-r2+9 =6r (r+2)2-16-r2+9 =6r 4r-3 =3 2 +9 8r-6
∵|r+2|2≥16，
∴r≥2，
∴8r-6≥10，
∴3 2 ＜tan∠APB≤12 5
∴∠APB的最大值为arctan12 5 ．（8分）
（3）假设存在点Q（b，0），由kQA=a-r -b ，kQB=a+r -b ，得tan∠AQB=|a+r -b -a-r -b 1+a+r b •a-r b |=|-2br a2+b2-r2 |
∵a2=（r+2）2-16，
∴tan∠AQB=2|b| |b2-12 r +4|
欲使∠AQB的大小与r无关，则当且仅当b2=12，即b=±2 3 ，
此时有tan∠AQB= 3 ，即得∠AQB=60°为定值，
故存在Q(2 3 ，0)或Q(-2 3 ，0)，使∠AQB为定值60°．（13分）点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中根据已知中圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B两点，确定圆D的方程，进而求出A，B的方程是解答本题的关键．

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