f(x)=(sin²x+2)/sinx,(0,∏)的值域

f(x)=(sin²x+2)/sinx,(0,∏)的值域
f(x)=(sin²x+2)/sinx,(0,∏)的值域

f(x)=(sin²x+2)/sinx,(0,∏)的值域
令s=sin(x), 因为0

f(x)=(sin²x+2)/sinx＝（sinx）+（2/sinx）
x在(0,∏)，sinx>0
（sinx）+（2/sinx）>=2√2
f(x)的值域为[3，,+无穷]

f(x)=sinx+2/sinx
由于有0而f(x)=x+2/x>=2根号(x*2/x)=2根号2
当且仅当x=2/x,即有X=根号2时取"=",即有当(0,根号2)时函数单调减,即有原来的函数在(0,1]上是单调减的.
故有最小值是f(x)=1+2/1=3
即值域是[3,+无穷)

f(x)=sinx+2/sinx
令sinx=t
0f(x)=t+2/t
f'(x)=1-2/t^2
令f'(x)=1-2/t^2=0
得 t=√2 所以f(x)在(0,1]上为减函数
所以f(x)≥3

除了用单调性求解外，再提供个方法
∵x∈(0,π)，∴0f(x)=(sin²x+2)/sinx=sinx+2/sinx，易见f(x)>sinx
由sin²x-f(x)*sinx+2=0，解得
sinx={f(x)-√[f²(x)-8]}/2>0 注意：sinx={f(x)+√[f²(x)-8]}/2不合题...

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除了用单调性求解外，再提供个方法
∵x∈(0,π)，∴0f(x)=(sin²x+2)/sinx=sinx+2/sinx，易见f(x)>sinx
由sin²x-f(x)*sinx+2=0，解得
sinx={f(x)-√[f²(x)-8]}/2>0 注意：sinx={f(x)+√[f²(x)-8]}/2不合题意，舍去
由{f(x)-√[f²(x)-8]}/2≤1
=> f(x)≤2+√[f²(x)-8]
=> f²(x)≤f²(x)-4+4√[f²(x)-8]
=> √[f²(x)-8]≥1
=> f²(x)≥9
=> f(x)≥3
∴f(x)∈[3,+∞)

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