作业帮函数y=(sin x)^12 + (cos x)^12的值域,用基本不等式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 15:01:36
函数y=(sin x)^12 + (cos x)^12的值域,用基本不等式
函数y=(sin x)^12 + (cos x)^12的值域,
用基本不等式
函数y=(sin x)^12 + (cos x)^12的值域,用基本不等式
一般来说,不等式可以求出某些式子的最值,而且基本都是单边的,因为我们接触到的大多在两个变量相等时取到最值,所以一般只能求出最大或是最小值,要想用不等式取出值域基本是不可能或者要用到很复杂的数学技巧.在这里我只能用基本不等式求出最小值,而最大值则要其他的技巧.
首先说明要用到的不等式(x+y)^n≤[2^(n-1)]*(x^n+y^n)(x=y时取等号)(这个不等式有很多方法证明,最容易想到的就是用数学归纳法)
作换元sin²x=a,cos²x=b,那么a+b=1
y=a^6+b^6≥[(a+b)^6]/[2^(6-1)]=1/32(当a=b=1/2时取等号)
至于最大值比较麻烦:
首先求a²+b²的最大值
a²+b²=a²+(1-a)²=2a²-2a+1,当0≤a≤1时,抛物线的最大值在端点取到,
所以a²+b²≤1(当a=1或b=1时取等号)
y=(a²)³+(b²)³=(a²+b²)(a^4-a²b²+b²)
=(a²+b²)[(a²+b²)²-3a²b²]
≤(a²+b²)[(a²+b²)²]
≤1
所以1/32≤y≤1
当然这道题还有其他的解法,这里我稍微提一下我用的比较多的数形结合.
设a=(sinx)^12,b=(cosx)^12,那么a^(1/6)+b^(1/6)=1
这条曲线的形状有点像双曲线,这条曲线关于b=a对称,与两坐标轴的交点是(0,1),(1,0),
而y=a+b则表示斜率为-1,并且与曲线相交的直线在b轴上的截距
当直线与曲线相切时取最小值,由于曲线关于b=a对称,所以切点为a=b的点,即a=b=1/64
此时y=1/32
当直线过曲线与坐标轴的交点时取最大值,此时y=1
所以1/32≤y≤1
当然,此题的解法远不止以上两种,如果仅仅是求最小值,那解法更多,在此就不一一阐述了.
12次方- -太变态了吧....