在△ABC中,AB=AC,BD=AC,BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD,CE相较于点M,EF.DG分别平分∠AED和∠ADE,EF.DE相交于点H,求证:四边形HEMD是菱形.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 15:09:44
在△ABC中,AB=AC,BD=AC,BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD,CE相较于点M,EF.DG分别平分∠AED和∠ADE,EF.DE相交于点H,求证:四边形HEMD是菱形.

在△ABC中,AB=AC,BD=AC,BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD,CE相较于点M,EF.DG分别平分∠AED和∠ADE,EF.DE相交于点H,求证:四边形HEMD是菱形.
在△ABC中,AB=AC,BD=AC,BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD,CE相较于点M,EF.DG分别平分∠AED和∠ADE,EF.DE相交于点H,求证:四边形HEMD是菱形.

在△ABC中,AB=AC,BD=AC,BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD,CE相较于点M,EF.DG分别平分∠AED和∠ADE,EF.DE相交于点H,求证:四边形HEMD是菱形.
证明:AB=AC,得∠ABC=∠ACB……(1)
BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB,得∠DBC=∠ECB,∠EBD=∠DCE……(2)
又BC=CB(公共边)……(3)
由(1)(2)(3)可得△BCE全等於△CBD,从而得BE=CD……(4)
由(1)AB=AC(4)得ED平行BC……(5)
进而得∠ABC&∠AED和∠ACB&ADE的角平分线EF平行BD,DG平行CE
於是得四边形HEMD为平行四边形……(6)
又∠EMB=∠DMC……(7)
由(2)(4)(7)可得△BME全等於△CMD,从而得ME=MD……(8)
最终由(6)(8)证得四边形HEMD是菱形