设F1,F2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左,右焦点,若在椭圆上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且△PF1F2的面积为（根号3/3）b^2,求该椭圆的离心率

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 06:05:51

设F1,F2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左,右焦点,若在椭圆上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且△PF1F2的面积为（根号3/3）b^2,求该椭圆的离心率
设F1,F2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左,右焦点,若在椭圆上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且△PF1F2
的面积为（根号3/3）b^2,求该椭圆的离心率

设F1,F2分别是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左,右焦点,若在椭圆上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且△PF1F2的面积为（根号3/3）b^2,求该椭圆的离心率
设半焦距为c,则有c²+b²=a²
PF1=2c=F1F2,PF2=2a-2c
因为三角形面积为根号3/3b²
由海伦公式我们有：
S²=(a+c)(a-c)(a-c)(3c-a)= b^4/3=(a²-c²)²/3
即(a-c)(3c-a)=(a²-c²)/3
即a²-3ac+2c²=0
解得a=2c
所以椭圆离心率为1/2

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楼上回答的第二问简直不知所云，在这里不懂装懂，误人子弟，最讨厌这种人。（1）由椭圆的第一定义可知2a＝4，a＝2，将椭圆C上的一点A（1，3＆＃47；2）和a＝2代入到椭圆方程中可得b＆＃178；＝3，故椭圆方程为x＆＃178；＆＃47；4＋y＆＃178；＆＃47；3＝1，c＝√a＆＃178；－b＆＃178；＝1，那么焦点F1，F2坐标为（1，0），（－1，0）（2）设M坐标为（x1，y1），P坐标为（x2，y2），M，N是关于原点对称的，所以N坐标为（－x1，－y1）．于是有Kpm＝（y2－y1）＆＃47；（x2－x1），Kpn＝（y2＋y1）＆＃47；（x2＋x1），则Kpm＊Kpn＝（y2＾2－y1＾2）＆＃47；（x2＾2－x1＾2）由P，M都是椭圆上的点，则有x1＾2＆＃47；a＆＃178；＋y1＾2＆＃47；b＆＃178；＝1　　　　　　　　　　　　　　　　①x2＾2＆＃47；a＆＃178；＋y2＾2＆＃47；b＆＃178；＝1　　　　　　　　　　　　　　　　②②－　①得（x2＾2－x1＾2）＆＃47；a＆＃178；＋（y2＾2－y1＾2）＆＃47；b＆＃178；＝0即Kpm＊Kpn＝（y2＾2－y1＾2）＆＃47；（x2＾2－x1＾2）＝－b＆＃178；＆＃47；a＆＃178；，所以说Kpm＊Kpn与P位置无关的定值双曲线x＾2＆＃47；a＾2－y＾2＆＃47；b＾2＝1（a＆gt；0，b＆gt；0）具有类似特征的性质就是Kpm＊Kpn＝b＆＃178；＆＃47；a＆＃178；证明：与前面的椭圆情况类似后面把符号改一下，即x1＾2＆＃47；a＆＃178；－y1＾2＆＃47；b＆＃178；＝1　　　　　　　　　　　　　　　　①x2＾2＆＃47；a＆＃178；－y2＾2＆＃47；b＆＃178；＝1　　　　　　　　　　　　　　　　②②－　①得（x2＾2－x1＾2）＆＃47；a＆＃178；－（y2＾2－y1＾2）＆＃47；b＆＃178；＝0即Kpm＊Kpn＝（y2＾2－y1＾2）＆＃47；（x2＾2－x1＾2）＝b＆＃178；＆＃47；a＆＃178；，所以说Kpm＊Kpn与P位置无关的定值。

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