三个质数倒数之和是1661/1986,求这三个数是多少?

三个质数倒数之和是1661/1986,求这三个数是多少?
三个质数倒数之和是1661/1986,求这三个数是多少?

三个质数倒数之和是1661/1986,求这三个数是多少?
弱质dai,
需要这么繁吗?分解质因数不就知道了嘛!
1986＝2×3×331
这三个质数是2、3、331.

设此三个质数为a,b,c
由1/a+1/b+1/c=1661/1986
所以(ab+bc+ac)/abc=1661/1986
(ab+bc+ac)*1986=1661abc
因为等式左边是2的倍数，所以abc能被2整除，又a,b,c都是质数，其中必有一个数为2,不妨设a=2，则有
1/2+1/b+1/c=1661/1986
1/b+1/c=334/9...

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设此三个质数为a,b,c
由1/a+1/b+1/c=1661/1986
所以(ab+bc+ac)/abc=1661/1986
(ab+bc+ac)*1986=1661abc
因为等式左边是2的倍数，所以abc能被2整除，又a,b,c都是质数，其中必有一个数为2,不妨设a=2，则有
1/2+1/b+1/c=1661/1986
1/b+1/c=334/993
所以334bc=993(b+c)
所以b+c必为偶数，故b,c都是奇数（因为b,c显然不都等于2)
(b+c)/bc=334/993
若b+c与bc的最大公约数为d，d|bc，所以d=1或d=b或d=c
若d=b，则有b|c，所以b=c,这时2/b=334/993，不合题意。
所以b+c与bc互素，所以b+c=334
bc=993
所以b=3,c=331或c=331,b=3
这三个质数和=334+2=336

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