函数f(x)=1/2ax^2-(2a+1)x+2lnx,1、若曲线y=f(x) 在 x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值 是哪张卷子?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 14:42:41
函数f(x)=1/2ax^2-(2a+1)x+2lnx,1、若曲线y=f(x) 在 x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值 是哪张卷子?

函数f(x)=1/2ax^2-(2a+1)x+2lnx,1、若曲线y=f(x) 在 x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值 是哪张卷子?
函数f(x)=1/2ax^2-(2a+1)x+2lnx,1、若曲线y=f(x) 在 x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值 是哪张卷子?

函数f(x)=1/2ax^2-(2a+1)x+2lnx,1、若曲线y=f(x) 在 x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值 是哪张卷子?
求导,得
f'(x)=ax－2a－1＋2/x
f'(1)＝a－2a－1＋2＝f'(3)＝3a－2a－1＋2/3
a=2/3

如图

定义域x>0
1)求导f'(x)=ax-(2a+1)+2/x
f'(1)=a-(2a+1)+2
f'(3)=3a-(2a+1)+2/3
由题有f'(1)=f'(3)整理即1-a=a-1/3,解得a=2/3
2)
f'(x)=ax-(2a+1)+2/x=[ax^2-(2a+1)x+2]/x=(ax-1)(x-2)/x
令f'(x)=0
...

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定义域x>0
1)求导f'(x)=ax-(2a+1)+2/x
f'(1)=a-(2a+1)+2
f'(3)=3a-(2a+1)+2/3
由题有f'(1)=f'(3)整理即1-a=a-1/3,解得a=2/3
2)
f'(x)=ax-(2a+1)+2/x=[ax^2-(2a+1)x+2]/x=(ax-1)(x-2)/x
令f'(x)=0
i)当a=<0,x1=1/a(舍去）,x2=2，
由f'(x)>0,得f(x)单调递增区间x∈(0,2)
由f'(x)<0,得f(x)单调递减区间x∈(2,+∞)
ii)当1/2>a>0,0由f'(x)>0,得f(x)单调递增区间x∈(0,2)U(1/a,+∞)
由f'(x)<0,得f(x)单调递减区间x∈(2,1/a)
iii)当a=1/2,有f'(x)>=0,且f'(x)不恒为0，得f(x)单调递增区间x∈(0,+∞)
iiii)当a>1/2,0由f'(x)>0,得f(x)单调递增区间x∈(0,1/a)U(2,+∞)
由f'(x)<0,得f(x)单调递减区间x∈(1/a,2)
3)只需对任意x1 ,x2∈ (0,2]使得f(x1)因为g(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1>=-1得到min[g(x2)]=-1，x2∈ (0,2]
问题便转化为f(x)<-1在x∈ (0,2]恒成立
即1/2ax^2-(2a+1)x+2lnx<-1在x∈ (0,2]恒成立
分离常数a,即a>(2x-4lnx-2)/(x^2-4x),在x∈ (0,2]恒成立【注意x^2-4x<0,x∈ (0,2]】
该问题等价于a>maxh(x),其中h(x)=(2x-4lnx-2)/(x^2-4x),x∈ (0,2]
求导易得h'(x)=[2(x-2)(4lnx-x-2)]/[(x^2-4x)^2]下面判断h'(x)的符号只需判断4lnx-x-2的符号
引入F(x)=4lnx-x-2,求导得F'(X)=4/x-1=(4-x)/x,显然当x∈ (0,2],F'(x)>0得F(x)单调递增
那么F(x)因此当x∈ (0,2)，h'(x)>0,h(x)单调递增,【当x∈ (2，4)，h'(x)<0,h(x)单调递减】,
易得到x∈ (0,2],h(x)极大值为h(2)且此极大值必为其最大值。
所以maxh(x)=h(2)=ln2-1/2
由a>maxh(x),得到a的取值范围为(ln2-1/2,+∞)

收起

函数f(x)={ax^2+1,x≥0;(a^2-1)e^ax,x 高中数学已知函数f(x)=ax^2+x--a.解不等式f（x)>1 已知函数f(x)=ax/(x^2+1)+a,求f(x)的单调区间 高等数学若复合函数 f(ax+1/ax)=a^4*x^2+1/(x^2) 求f(x) 函数f(x)=(2ax－a²+1)/(x²+1)的导函数 设函数f(x)=ax^2+|x-a|+1x∈R求函数f(x)的最小值 求函数f(x)=|x-a|/(x^2-ax+1) 的最值(|a| 已知函数f(x)=x^3+2ax^2+1/ax(a>0),则f(2)最小值 函数f(x)=lg(ax^2+ax+1)若f(x)的值域为R,求a的范围 已知函数f(x)=x^+ax,g(x)=2^x-a,且1/2 确定常数a.b 使函数f(x)= ax+b(x>1) x^2(x 已知函数f(x)=ax/2x-1满足f[f(x)]=x,求实数a的值 函数f(x)=ax^2+x-a,a 若函数f(x)= -x²+2ax-2a,x≥1 ax+1,x 已知函数f(x)=0.5x^2-ax+(a-1)lnx 讨论函数f(x)的单调性 设|a|≤1,函数f(x)=ax^2+x-a,x∈[-1,1].证明|f(x)| 已知函数f'(x)是f(x)的导函数,且f'(x)=(a-1)x^2+ax+1是偶函数,求f(x)递增区间 设函数f(x+1)=ax+1,且f(2)=3,则a=