已知函数f（x）=ln（1+x）-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若方程f （x）=1/4(m-3x)在[2,4]上有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围；（参考数据：e=2.71 82

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 08:09:07

已知函数f（x）=ln（1+x）-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若方程f （x）=1/4(m-3x)在[2,4]上有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围；（参考数据：e=2.71 82
已知函数f（x）=ln（1+x）-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若方程f （x）=1/4(m-3x)在[2,4]上有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围；（参考数据：e=2.71 828…）
（Ⅲ）设常数p≥1,数列{an}满足an+1=an+ln（p-an）（n∈N*）,a1=lnp,求证：an+1≥an．

已知函数f（x）=ln（1+x）-ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0平行．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若方程f （x）=1/4(m-3x)在[2,4]上有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围；（参考数据：e=2.71 82
（I）∵f′(x)=1/(1+x)-a,
∴f′(1)=1/2-a．
由题知1/2-a=-/12,
解得a=1．
（II）由（I）有f（x）=ln（1+x）-x,
∴原方程可整理为4ln（1+x）-x=m．
令g（x）=4ln（1+x）-x,得g′(x)=4/(1+x)-1=(3-x)/(1+x),
∴当3＜x≤4时g'（x）＜0,当2≤x＜3时g'（x）＞0,g'（3）=0,
即g（x）在[2,3]上是增函数,在[3,4]上是减函数,
∴在x=3时g（x）有最大值4ln4-3．
∵g（2）=4ln3-2,g（4）=4ln5-4,
∴g（2）-g（4）=4ln3/5+2=2(2ln3/5+1)=2ln9e/25
．
由9e≈24.46＜25,于是2ln9e/25＜0．
∴g（2）＜g（4）．
∴m的取值范围为[4ln5-4,4ln4-3）．
（III）由f（x）=ln（1+x）-x（x＞-1）有f′(x)=1/1+x-1=-x/1+x,
显然f'（0）=0,当x∈（0,+∞）时,f'（x）＜0,当x∈（-1,0）时,f'（x）＞0,
∴f（x）在（-1,0）上是增函数,在[0,+∞）上是减函数．
∴f（x）在（-1,+∞）上有最大值f（0）,而f（0）=0,
∴当x∈（-1,+∞）时,f（x）≤0,因此ln（1+x）≤x．
由已知有p＞an,即p-an＞0,所以p-an-1＞-1．
∵an+1-an=ln（p-an）=ln（1+p-1-an）,
∴由（*）中结论可得an+1-an≤p-1-an,即an+1≤p-1（n∈N*）．
∴当n≥2时,an+1-an=ln（p-an）≥ln[p-（p-1）]=0,即an+1≥an．
当n=1,a2=a1+ln（p-lnp）,
∵lnp=ln（1+p-1）≤p-1,
∴a2≥a1+ln[p-（p-1）]=a1,结论成立．
∴对n∈N*,an+1≥an．