如图,延长圆的两条弦AB,CD相交于圆外一点P,PO是∠APC的平分线,已知M、N分别为弧AB,弧CD的中点, 求证 PO⊥MN

如图,延长圆的两条弦AB,CD相交于圆外一点P,PO是∠APC的平分线,已知M、N分别为弧AB,弧CD的中点, 求证 PO⊥MN
如图,延长圆的两条弦AB,CD相交于圆外一点P,PO是∠APC的平分线,已知M、N分别为弧AB,弧CD的中点, 求证 PO⊥MN

如图,延长圆的两条弦AB,CD相交于圆外一点P,PO是∠APC的平分线,已知M、N分别为弧AB,弧CD的中点, 求证 PO⊥MN
证明：连接OM和ON分别交AB于E,交CD于F
根据垂径定理,M、N分别是弧AB和弧CD的中点
所以OM垂直AB,ON垂直CD
因为PO平分∠APC
所以OE=OF
所以AB=CD
因为△POE≌△POF
所以PE=PF
因为AE=1/2AB=1/2CD=CF
所以PA=PC
因为OA=OC,PO=PO
所以△PAO≌△PCO
所以∠POA=∠POC
因为弧AM=弧CN
所以∠AOM=∠COF
所以∠AOM+∠POA=∠COF+∠POC
所以∠POM=∠PON
因为△MON是等腰三角形（OM=ON）
根据三角形三线合一性质
所以OP⊥MN

http://i159.photobucket.com/albums/t145/l421013/MATH2/OOP.png