正方形ABCD中有一小正方形A1B1C1D1,将A连接A1,B连接B1,C连接C1,D连接D1,现在问用三笔将整个图开画完?如题：正方形ABCD中有一小正方形A1B1C1D1,将A连接A1,B连接B1,C连接C1,D连接D1,现在问：用三笔将整

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正方形ABCD中有一小正方形A1B1C1D1,将A连接A1,B连接B1,C连接C1,D连接D1,现在问用三笔将整个图开画完?
如题：正方形ABCD中有一小正方形A1B1C1D1,将A连接A1,B连接B1,C连接C1,D连接D1,现在问：用三笔将整个图开画完?

正方形ABCD中有一小正方形A1B1C1D1,将A连接A1,B连接B1,C连接C1,D连接D1,现在问用三笔将整个图开画完?如题：正方形ABCD中有一小正方形A1B1C1D1,将A连接A1,B连接B1,C连接C1,D连接D1,现在问：用三笔将整
七桥问题和一笔画 
 
  18世纪时,欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡,那里有七座桥.如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结,河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结.当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥,每座桥只走过一次,最后回到出发点?大家都试图找出问题的答案,但是谁也解决不了这个问题.
图 1                         图 2
 
    
  七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注.他把具体七桥布局化归为图2所示的简单图形,于是,七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发,一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸,而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复）,并且最后返回起点?欧拉经过研究得出的结论是：图2是不能一笔画出的图形.这就是说,七桥问题是无解的.这个结论是如何产生呢?请看下面的分析.
  如果我们从某点出发,一笔画出了某个图形,到某一点终止,那么除起点和终点外,画笔每经过一个点一次,总有画进该点的一条线和画出该点的一条线,因此就有两条线与该点相连结.如果画笔经过一个n次,那么就有2n条线与该点相连结.因此,这个图形中除起点与终点外的各点,都与偶数条线相连.如果起点和终点重合,那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点,那么这两个点部是与奇数条线相连的点.综上所述,一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点,或者其中只有两个点与奇数条线相连.
  图2中的A点与5条线相连结,B、C、D各点各与3条线相连结,图中有4个与奇数条线相连的点,所以不论是否要求起点与终点重合,都不能一笔画出这个图形.
  1736年,欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告.在报告中,他证明了上述结论.后来他又给出了鉴别任一图形能否一笔画出的准则,即欧拉定理.为了介绍这个定理,我们先来看下面的预备知识：
  由有限条线组成的图形叫做网络,其中每条线都要求有两个不同的端点.这些线叫做网络的弧,弧的端点叫做网络的顶点.例如,图2是一个网络,a、b、c、d、e、f、g是它的7条弧,A、B、C、D是它的四个顶点.
  网络中互相衔结的一串弧叫做一条路.如果网络中任意两个顶点都可以用一条路连结起来,那么就称这个网络为连通的；否则称为不连通的.例如,图2是连通的网络；图3是不连通的网络,其中有的顶点（例如A与D）之间没有路线连结.
 
图 3                                      图 4
 
  网络中以某顶点为端点的弧的条数,叫做该顶点的叉数.叉数是奇数的顶点叫做奇顶点,叉数是偶数的顶点叫做偶顶点.
  下面介绍欧拉定理.
  欧拉定理   如果一个网络是连通的并且奇顶点的个数等于0或2,那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出.
  用欧拉定理可以很方便地判断一个简单图形是否可以一笔画出.例如,图3是不连通网络,它不能一笔画出（尽管它的奇顶点个数为0）；图4中实线所示图形有8个奇顶点．它不能一笔画出,如果将图中虚线补为实线,那么奇顶点只有F和G两个,所得图形就能一笔画出了（以F为起点,G为终点；或G为起点,F为终点）.
  试问下列图形能否一笔画出?如能画出应怎样画?如不能画出理由是什么?
 
 
2004-07-26