作业帮己知动圆C过定点F(0,1),且与直线l1y=-1相切,圆心C的轨迹为E己知直线l2交轨迹与PQ,且PQ中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 09:55:07
己知动圆C过定点F(0,1),且与直线l1y=-1相切,圆心C的轨迹为E己知直线l2交轨迹与PQ,且PQ中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少
己知动圆C过定点F(0,1),且与直线l1y=-1相切,圆心C的轨迹为E
己知直线l2交轨迹与PQ,且PQ中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少
己知动圆C过定点F(0,1),且与直线l1y=-1相切,圆心C的轨迹为E己知直线l2交轨迹与PQ,且PQ中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少
设C(a, b), 圆半径r= b -(-1) = b + 1
圆方程:(x - a)² + (y - b)² = (b + 1)²
过定点F(0, 1): a² + (1 - b)² = (b +1)²
a² = 4b
将a, b分别换为x, y, 圆心C的轨迹为E: x² = 4y, y = x²/4
设P(p, p²/4), Q(q, q²/4)
PQ中点的纵坐标为2: (p²/4 + q²/4)/2 = 2, p² + q² = 16 (1)
|PQ|² = (p - q)² + (p²/4 - q²/4)²
= (p - q)²[1 + (p + q)²/16]
= (p² + q² - 2pq)[1 + (p² + q² + 2pq)/16]
= (16 - 2pq)(2 + pq/8)
= (1/4)(8 - pq)(16 + pq)
= (1/4)[144 - (pq + 4)²]
pq= -4时, |PQ|²最大, = 144/4 = 36
|PQ|的最大值为6
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动圆C过定点F(0，1)，且与直线l1y=-1相切
C到定点F的距离等于C到定直线l1:y=-1的距离
∴C点轨迹为以F为焦点，L1为准线的抛物线
其中p=2,
∴轨迹E:x²=4y
2
设l2:y=kx+b与x²=4y联立
消去y得：
x²-4kx-4b=0
Δ=16k²...
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1
动圆C过定点F(0，1)，且与直线l1y=-1相切
C到定点F的距离等于C到定直线l1:y=-1的距离
∴C点轨迹为以F为焦点，L1为准线的抛物线
其中p=2,
∴轨迹E:x²=4y
2
设l2:y=kx+b与x²=4y联立
消去y得：
x²-4kx-4b=0
Δ=16k²+16b>0
∴ k²+b>0①
P(x1,y1),Q(x2,y2)
∴x1+x2=4k,x1x2=-4b
∴(x1+x2)²=x²1+x²2+2x1x2=16k²
∴4y1+4y2-8b=16k²
∵y1+y2=4
∴2k²=2-b,
b=2-2k² 代入①
2-k²>0
0≤k²<2
|PQ|=√(1+k²)*√[(x1+x2)²-4x1x2]
=√(1+k²)√[16k²+16b]
=4√(1+k²)√[2-k²]
=4√(2+k²-k⁴)
=4√[9/4-(k²-1/2)²]
≤4√(9/4)=6
∴ k²=1/2即k=±√2/2时，|PQ|的最大值为6
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