试用定积分的几何意义计算∫(上2下0)根号下(4-x²)dx的值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 03:51:35

试用定积分的几何意义计算∫(上2下0)根号下(4-x²)dx的值
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试用定积分的几何意义计算∫(上2下0)根号下(4-x²)dx的值
被积函数是√(4-x²),即曲线为y=√(4-x²)
圆的方程为x²+y²=4,半径为2,圆心为(0,0)
定积分下限为0,上限为2,x截距和y截距都是2,所求是1/4圆的面积
整个圆的面积为πr²=4π
而1/4圆的面积为4π/4=π
直接解定积分亦可:
∫√(4-x²)dx
设x=2siny,dx=cosy
当x=0,y=0,当x=2,y=π/2
=∫cosy√(4-4sin²y)dy
=2∫2cos²ydy
=4∫[(1+cos2y)/2]dy
=2∫(1+cos2y)dy
=2∫dy+2∫cos2ydy
=2y+2*(1/2)∫cos2yd(2y)
=[2*π/2]-[2*0]+sin2y
=π-[sin(2*π/2)]-[sin(2*0)]
=π-0-0
=π

一个半径为2的圆的1/4就是所求结果，即pai。

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