作业帮设a1,a2,...,an都是正数,证明不等式(a1+a2+...+an)[1/(a1)+1/(a2)+...+1/(an)]>=n^2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 07:11:21
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设a1,a2,...,an都是正数,证明不等式(a1+a2+...+an)[1/(a1)+1/(a2)+...+1/(an)]>=n^2
设a1,a2,...,an都是正数,证明不等式(a1+a2+...+an)[1/(a1)+1/(a2)+...+1/(an)]>=n^2
设a1,a2,...,an都是正数,证明不等式(a1+a2+...+an)[1/(a1)+1/(a2)+...+1/(an)]>=n^2
用数学归纳法证明(a1+a2+...+an)*(1/a1+1/a2+...1/an)>=n^2
证明:
当n=1时,a1*(1/a1)=1>=1^2 成立.
假设当n=k时,命题成立.
即:(a1+a2+...+ak)*(1/a1+1/a2+...1/ak)>=k^2
则 n=k+1时,
(a1+a2+...+ak+a)*(1/a1+1/a2+...1/ak+1/a)
=(a1+a2+...+ak)*(1/a1+1/a2+...1/ak)+a*(1/a1+1/a2+...1/ak)+1/a*(a1+a2+...+ak) +1
>=k^2+a*(1/a1+1/a2+...1/ak)+1/a*(a1+a2+...+ak) +1 {由n=k时的结论}
>=k^2+2*根号[a*(1/a1+1/a2+...1/ak)*1/a*(a1+a2+...+ak)]+1 {算术平均数不小于几何平均数}
=k^2+2*根号[(1/a1+1/a2+...1/ak)*(a1+a2+...+ak)]+1 {由n=k时的结论}
>=k^2+2*k+1
=(k+1)^2
因此当n=k+1时,命题成立.
命题得证.
当n=1时,显然成立,
假设当n时成立,对于n+1时候,
记u=（a1+a2..an+a_{n+1})/(n+1)(a_{n+1}的n+1是下标)
我们要证明的是u^{n+1}>=a1a2...a_na_{n+1},(1)
因为u是这n+1个数的平均数,所以必定存在某个i,j，使得a_i=
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当n=1时,显然成立,
假设当n时成立,对于n+1时候,
记u=（a1+a2..an+a_{n+1})/(n+1)(a_{n+1}的n+1是下标)
我们要证明的是u^{n+1}>=a1a2...a_na_{n+1},(1)
因为u是这n+1个数的平均数,所以必定存在某个i,j，使得a_i=
从而由归纳假设得到,
u^{n+1}=u*u^n>=a_1a_2...a_{n-1}xu,
而xu-a_na_{n+1}=(a_n+a_{n+1}-u)u-a_na_{n+1}=(a_n-u)(u-a_{n+1})>=0
从而得到了(1)式。
当然Cauchy还有个向前向后归纳法更优美。
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