作业帮高数:如何理解复变函数的"紧性"若X的任一开覆盖有有限子覆盖称拓扑空间X的子集K为紧集,若能从X的任一覆盖K的开集族中取有限覆盖太抽象了,能否举一个具体的点集的例子来说明"紧性"的定
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 14:24:19
高数:如何理解复变函数的"紧性"若X的任一开覆盖有有限子覆盖称拓扑空间X的子集K为紧集,若能从X的任一覆盖K的开集族中取有限覆盖太抽象了,能否举一个具体的点集的例子来说明"紧性"的定
高数:如何理解复变函数的"紧性"
若X的任一开覆盖有有限子覆盖
称拓扑空间X的子集K为紧集,
若能从X的任一覆盖K的开集族中取有限覆盖
太抽象了,能否举一个具体的点集的例子来说明"紧性"的定义呢?
高数:如何理解复变函数的"紧性"若X的任一开覆盖有有限子覆盖称拓扑空间X的子集K为紧集,若能从X的任一覆盖K的开集族中取有限覆盖太抽象了,能否举一个具体的点集的例子来说明"紧性"的定
我们在学实数理论时学到了有限覆盖引理,即：任意一个闭区间的开覆盖,都可以从中挑出有限个开区间来形成有限覆盖.
闭区间就是一个最简单的紧集.
好了,下面考虑一个二维的集合,不妨想象是平面上的一个区域.
容易知道,一个有界闭区域拥有有限开覆盖,所以有界闭区域是紧集.
那么考虑任意维的欧氏空间,可以证明（略）,在有限维的欧氏空间中,有界闭集都是紧集,紧集都是有界闭集.其定义是,“用任意一族开集去将这个有界闭集盖住,都能从这些开集中选出有限个,使得这有限个开集仍能将这个有界闭集盖住.”
一个不是紧集的例子：无限维单位球面
无限维单位球面定义为\sum x[i]^2 = 1,其中i从1取到无穷.
显然,以下点列都在这个球面上：
(1,0,0,.)(0,1,0,.)(0,0,1,.).
但是它们根本不存在极限点,所以这个球面当然不是紧的（连闭集都不是）.
如果对象换成一个拓扑空间,只要定义了它上面的拓扑（即开集）,那么一个集合是不是紧集只要看它有没有有限开覆盖就可以了.
什么是拓扑空间?就是给一个抽象集合定义了子集类之后形成的东西.数学家们说“我们研究的是集合”,但是光给一个集合,什么都不知道是没法做数学的.给集合中的元素定义了“什么是这个元素附近的元素”（即邻域、开集等概念）之后,这个集合就变成了拓扑空间.所定义的“开集”等东西就叫拓扑.
复变中用到的紧集基本上限于二维平面（或者二维球壳）,所以不用考虑那么多.