三角形三边a,b,c,面积为s,证a^2+b^2+c^2>=4√3s

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 05:32:37

三角形三边a,b,c,面积为s,证a^2+b^2+c^2>=4√3s
三角形三边a,b,c,面积为s,证a^2+b^2+c^2>=4√3s

三角形三边a,b,c,面积为s,证a^2+b^2+c^2>=4√3s
因为a^2=b^2+c^2-2bccosA
S=(1/2)bcsinA
则a^2+b^2+c^2-4√3S
=b^2+c^2-2bccosA+b^2+c^2-4√3*(1/2)bcsinA
=2b^2+2c^2-2bccosA-2√3bcsinA
=2b^2+2c^2-4bc[(1/2)cosA+(√3/2)sinA]
=2b^2+2c^2-4bc+4bc-4bccos(60-A)
=2(b-c)^2+4bc[1-cos(60-A)]
-120 < 60-A < 60
-1/2 < cos(60-A) ≤ 1
0 ≤ 1-cos(60-A) < 3/2
所以
a^2+b^2+c^2-4√3S = 2(b-c)^2+4bc[1-cos(60-A)] ≥0
当b=c且A=60时,即等边三角形时,等号成立
这个要用到高中的余弦定理和诱导公式.
余弦公式：
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
上式中A、B、C分别表示a,b,c所对应的角.
由第三个公式可以得到
c^2-a^2-b^2=-2ab*cosC ；
又S=1/2*ab*sinC .
将上面两个等式带入欲证式,就得到新的欲证式：
4ab≥2ab*cosC +2√3ab*sinC
化简之后就是
1/2cosC +√3/2sinC≤1
把1/2和√3/2分别视为sin30和cosC30
那么上式就等价于
sin（30+C）≤1,这显然成立,当且仅当C=60时取得最大值为1.
证毕.

三角形三边a,b,c,面积为s,证a^2+b^2+c^2>=4√3s 三角形三边a,b,c,面积为s,证a^2+b^2+c^2>=4√3s 已知三角形的三边为a,b,c,面积S=a2-（b-c）2,则cosA= 多少三角形ABC中,三边a,b,c与面积S关系式为S=1/4（a^2+b^2+c^2),角C为? 已知三角形的三边为a,b,c和面积S=a^2-(b-c)^2,则 cosA=?应用举例(3)—三角形中的几何计算! 已知三角形ABC的三边分别为a,b,c,且面积为S=(a^2+b^2-c^2)/4,则C角等于已知a,b,c分别为三角形ABC的三边,且面积为S,当A=120度,a=2时,求S的最大值在三角形ABC中,三边a、b、c与面积S的关系式为S=1/4(a^2+b^2-c^2),则角C为?在三角形ABC中,三边a、b、c与面积S的关系式为S=1/4(a^2+b^2-c^2),则角∠C为多少°? 在三角形ABC的三边分别为a.b.c,且面积s=a^2+b^2-c^2/4,则角C等于多少? 已知三角形ABC的三边分别为a,b,c,且面积为S=(a^2+b^2-c^2)/4,求sinA+cosA 在三角形ABC中,三边abc与面积S的关系式为a^2+4s=b^2+c^2 则角A为在三角形ABC中,a.b.c是三角形ABC的三边,面积s=（a-b+c）(a+b-c),则cosA的值为 a,b,c为三角形ABC的三边,其面积S=12倍根号3,bc=48,b-c=2,求a. a,b,c为锐角三角形ABC的三边,其面积S三角形ABC＝12根号3,bc＝48,b－c＝2,求a? 三角形ABC中三边abc 与面积S 三角形ABC满足S=a^2-(b-c)^2 求tanA 设计一个程序,输入三角形三边长度来计算三角形面积S=√[P（P-A）（P-B）（P-C）其中P=（A+B+C）/2A,B,C为三角形三边设计一个程序,输入三角形三边的长度来计算三角形面积流程图程序2楼,还需计算三角形的面积已知三角形的三边分别为a、b、c,计算三角形面积.不允许用余弦定理,和三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC 三角形余弦定理三角形ABC的三边为a,b,c.且S（三角形ABC)=（a^2+b^2+c^2)/4,角C为多少?尤其是算三角形面积的一步,请详细说明.