作业帮一个对称于坐标轴的椭圆,与直线x+y-1=0的交点是AB两点,线段AB的中点M与椭圆中心的连线的斜率是√2／2,已知弦长|AB|=2√2,求椭圆方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 13:17:44
一个对称于坐标轴的椭圆,与直线x+y-1=0的交点是AB两点,线段AB的中点M与椭圆中心的连线的斜率是√2／2,已知弦长|AB|=2√2,求椭圆方程
一个对称于坐标轴的椭圆,与直线x+y-1=0的交点是AB两点,线段AB的中点M与椭圆中心的连线的斜率是√2／2,
已知弦长|AB|=2√2,求椭圆方程
一个对称于坐标轴的椭圆,与直线x+y-1=0的交点是AB两点,线段AB的中点M与椭圆中心的连线的斜率是√2／2,已知弦长|AB|=2√2,求椭圆方程
你好：
由于椭圆是关于坐标轴对称的,所以它的中心在原点.
若椭圆的焦点在X轴上,可设方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1
设A(x1,y1),B(x2,y2),因为AB在椭圆上：
x1^2/a^2/y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减,因式分解得到：
[(x1-x2)(x1+x2)]/a^2+[(y1-y2)(y1+y2)]/b^2=0
整理得到：[b^2(x1+x2)]/[a^2(y1+y2)]= -(y1-y2)/(x1-x2)
注意到：因为M为AB中点,XM=（x1+x2）/2 YM=(y1+y2)/2
因为AB在直线x+y-1=0上：那么,(y1-y2)/(x1-x2)=k=-1
所以整理得到的式子等价于：(b^2*XM)/(a^2*YM)= -(-1)=1
因为M与椭圆中心的连线的斜率是√2／2,所以YM/XM=√2/2
得到：a^2=√2*b^2
椭圆的方程可化为：x^2+ √2y^2=√2b^2
将直线的解析式代入方程中：
x^2+√2(1-x)^2=√2b^2
整理得到：(1+√2)x^2-2√2x+√2-√2b^2=0
根据韦达定理得到：x1+x2=2√2/(1+√2)=4-2√2
x1x2=(√2-√2b^2)/(1+√2)=(2-√2)(1-b^2)
由两点间的距离公式得到：|AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
注意到：y1-y2=(1-x1)-(1-x2)=x2-x1
因此：|AB|=√[2(x1-x2)^2]=√[2(x1+x2)^2-8x1x2]=2√2
两边平方得到：2(x1+x2)^2-8x1x2=8
代入关系式：2(4-2√2)^2-8(2-√2)(1-b^2)=8
解得：b^2=(3/2)√2
因此：x^2/3+2*y^2/(3√2)=1
若椭圆的焦点在Y轴上：设y^2/a^2+x^2/b^2=1 (a>b)
同理得到：(a^2XM)/(b^2YM)=1
解得：a^2=(√2/2)b^2
因此椭圆方程为：x^2/3+2*y^2/(3√2)=1
回答完毕,谢谢!