作业帮证明不等式当x>0时,1+xln(x+(1+x)^(1/2))>(1+x)^(1/2)二楼的方法很新颖。三楼为什么x→0+时f'(x)>0就可以说f'(x)在(0,无穷大）时都>0？
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 11:36:05
证明不等式当x>0时,1+xln(x+(1+x)^(1/2))>(1+x)^(1/2)二楼的方法很新颖。三楼为什么x→0+时f'(x)>0就可以说f'(x)在(0,无穷大）时都>0？
证明不等式
当x>0时,1+xln(x+(1+x)^(1/2))>(1+x)^(1/2)
二楼的方法很新颖。
三楼为什么x→0+时f'(x)>0就可以说f'(x)在(0,无穷大）时都>0？
证明不等式当x>0时,1+xln(x+(1+x)^(1/2))>(1+x)^(1/2)二楼的方法很新颖。三楼为什么x→0+时f'(x)>0就可以说f'(x)在(0,无穷大）时都>0？
令y=(1+x)^(1/2);
so: x=y^2-1;(y>1)
f(y)=1+y^2*ln(y^2+y)-y;
f'(y)=2y*ln(y^2+y)+y^2*(1/y^2+y)*(2y+1)-1
=2y*ln(y^2+y)+(2y^2+y)/(y+1)-1
>2ln2-1>ln4-lne>0;(y>1)
so: f'(y)>0 => f(y)>f(1)=1+1*ln2-1=ln2>0;
so: f(y)>0;
移项，不等式化为1+xln(x+(1+x)^(1/2))-(1+x)^(1/2)>0,把左边看作一个函数f(x),对x求一阶导数,f'(x)>0,则x>0时必有f(x)>f(0),所以不等式成立
移项，设f(x)=1+xln(x+(1+x)^(1/2))-(1+x)^(1/2),
所以，在x>0,根据导数的定义
f'(x)=lim(x→0+)｛(f(x)-f(0))/(x-0)｝=1>0,所以，在x>0，
f(x)为严格单调增函数，所以在x>0，f(x)>f(0)=0,即不等式成立。
【说明，求导过程较繁琐，但是方法是万能的，特别基础不好的，这中间有...
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移项，设f(x)=1+xln(x+(1+x)^(1/2))-(1+x)^(1/2),
所以，在x>0,根据导数的定义
f'(x)=lim(x→0+)｛(f(x)-f(0))/(x-0)｝=1>0,所以，在x>0，
f(x)为严格单调增函数，所以在x>0，f(x)>f(0)=0,即不等式成立。
【说明，求导过程较繁琐，但是方法是万能的，特别基础不好的，这中间有一个lim（x→0+)｛(1+1／x)^x｝=e的重要极限公式】
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