作业帮以AB为直径作一个半圆,圆心为O,C是半圆上一点且OC的平方等于AC乘BC,求角CAB的度数,答案为15或75,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 01:03:01
以AB为直径作一个半圆,圆心为O,C是半圆上一点且OC的平方等于AC乘BC,求角CAB的度数,答案为15或75,
以AB为直径作一个半圆,圆心为O,C是半圆上一点
且OC的平方等于AC乘BC,求角CAB的度数,答案为15或75,
以AB为直径作一个半圆,圆心为O,C是半圆上一点且OC的平方等于AC乘BC,求角CAB的度数,答案为15或75,
∵AB 是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
作CD⊥AB于D
根据三角形的面积公式可得：
AC*BC=AB*CD=2OC*CD
∵OC^2=AC *BC
∴OC^2=2OC*CD
∴OC =2CD
∴∠COD=30°
∴当点D在OB上时,∠CAB=15°
当点D在OA上时,∠CAB=75°
因为AB是直径，C是圆上一点，所以三角形ABC为直角三角形，设该三角形面和为S，则S=AC*BC/2，即AC*BC=2S，由题意知OC*OC=2S，即S=R*R/2——（1）
设角AOC=X，则三角形ABC的面积又可等于三角形AOC与三角形BOC的面积和，即
S=R*RsinX/2+R*Rsin(180-X)/2=R*RsinX——（2）
由（1）（2）得sinX=1/2，...
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因为AB是直径，C是圆上一点，所以三角形ABC为直角三角形，设该三角形面和为S，则S=AC*BC/2，即AC*BC=2S，由题意知OC*OC=2S，即S=R*R/2——（1）
设角AOC=X，则三角形ABC的面积又可等于三角形AOC与三角形BOC的面积和，即
S=R*RsinX/2+R*Rsin(180-X)/2=R*RsinX——（2）
由（1）（2）得sinX=1/2，X=30度 或 X=150度
三角形AOC为等腰三角形，而内角和为180度，所以角CAB=（180-30）/2=75度
或角CAB=（180-150）/2=15度
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两位解答基本正确，我用图解释。红蓝两线显示了两种不同的情况。 以C1情况作说明：作CH垂直于AB于H，AC×BC=两倍ABC的面积，设圆半径为r,那么依题意，AB×CH=AC×BC=r平方，又由于AB=2r，所以CH=r/2，所以在RT三角形CHO内，即可算出角COH=30度，那么角A就是15度。75度的情况也是类似的。只不过反过来而已。