什么是完全幻方?

什么是完全幻方?
什么是完全幻方?

什么是完全幻方?
完全幻方的定义：将从 1 到n×n的自然数排列成纵横各有n个数的方阵,使每行、每列及所有泛对角线上的n个数的和都相等,这样的方阵称为n阶完全幻方.
其中的泛对角线指的是包括现有的2条对角线和将现有幻方“折断后又重新恢复起来的对角线”在内的所有对角线.
也许这样好理解,若将完全幻方拓展到整个空间（想象将构造好的完全幻方当成地砖一样铺开）,那么任意圈定一个n×n的范围,都成为一个完全幻方,任意圈定范围的2条对角线就是2条泛对角线.
这跟不完全幻方的区别在于,对于幻方中单独的一个数,例如1,可以放在幻方的任意一个位置.但不完全幻方就不行,如3阶幻方,1 只有4 个位置可放.
举例：
4阶完全幻方：
上海博物馆曾在清理浦东陆家嘴明代古墓的出土文物时,发现了一块元朝时期伊斯兰教信徒所佩戴的玉挂.玉挂的正面刻着："万物非主,唯有真主,穆罕默德为其使者"的阿拉伯文字,表达了信徒对"真主"的无比虔诚与崇拜.玉挂的反面是一个四阶幻方,是由1 到16组成.
1\x058\x0511\x0514
12\x0513\x052\x057
6\x053\x0516\x059
15\x0510\x055\x054
这个神奇的四阶幻方具有一些极不平凡的性质：
1、除了任一横行或纵列或对角线上四个数字之和都等于34,符合幻方的传统定义之外,还包括"折断"后又重新恢复起来的对角线,例如：14+12+ 3+5=34；5+9+12+8=34 等等.具有这种性质的幻方称为"完全幻方".仅在此时,对角线才真正同行、列平起平坐,取得了完全平等的地位.任何三阶幻方都不具备此种性质.幻方研究家们指出,完全幻方最起码要四阶,"四"是下限,阶数再低就不行了.完全幻方很可贵,其道理即在此.
2、在这个幻方中,取出任何一个2×2 的小正方形,其中的四个数字之和也都等于34.这一点也很特殊,因为一般幻方的等和性,是只讲"条条",而不讲"块块"的.
3、在这个幻方中,任何一个3×3 小正方形,其角上四个数字之和也都等于常数34.
4、假如你将这个幻方看成象棋盘来进行飞"象",那么,不管"象"从哪一点出发飞到哪一点,这两个点上的数字之和都等于17.
5阶完全幻方
若把1放在任意格,向右走1步,下走2步以跳马步,如果落步格已有数字,向上移一格继续填写,完成的幻方为完全幻方.
★对于n阶奇数幻方,若n为不是3的倍数,用此马步法制作的n阶奇数幻方都是完全幻方.
1\x0514\x0522\x0510\x0518
25\x058\x0516\x054\x0512
19\x052\x0515\x0523\x056
13\x0521\x059\x0517\x055
7\x0520\x053\x0511\x0524
幻和值及泛对角线的和值都等于65
泛对角线如：1+20+9+23+12=65；25+14+3+17+6=65；……
一个完全5阶幻方具有如下性质：
1、每行、每列、对角线上5个数之和（幻和值）都是65.
2、以任意中心行（或列）整体顺序循环移动,新生幻方的性质保持不变.
3、以中心行（或列）对称互换中心行（或列）,新生幻方的性质保持不变.
4、以中心格十字型对称的4个数和中心格数都是65.
如：2+23+16+9+15=65；19+6+22+3+15=65.
5、以中心格X型对称的4个数和中心格数都是65.
如：8+17+21+4+15=65；1+24+7+18+15=65.
6、若将5阶完全幻方拓展到整个空间（将构造好的完全幻方当成地砖一样铺开）,那么任意圈定一个5×5的范围,都成为一个完全幻方,都符合以上性质.同时,若中心格是1、3、5、11、13、15、21、23、25的话,以中心格十字型、对称X型对称的2个数之和=(65-中心格数)/2.
8阶完全幻方：（如图）
一个完全8阶幻方具有如下性质：
1、每行、每列、对角线上8个数之和（幻和）都是260.
2、每半列、半行4个数之和都是130.
3、任何2×2方阵的4个数之和都是130.
4、任何中心对称的4个数之和都是130.
5、以对角线为界,两侧以8互补的与对角线平行的斜线上八个数之和都是260.
6、双行、双列整体顺序循环移动,新生幻方的性质保持不变.
7、以中心对称整体对换4×4方阵,新生幻方的性质保持不变.