作业帮高一数学14题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 21:48:22
高一数学14题
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高一数学14题
因为f(x)=x/x²+1
所以f(x)=1/(x+1/x)
令g(x)=x+1/x
则易知：g(x)在（—∞，—1）和（1,+∞）上单调递增，在（-1,0）和(0,1)上单调递减，
因此f(x)在（—∞，-1）和(1,+∞)上单调递减，在（—1,0）和(0,1)上单调递增
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讨论函数f(x)=x/(x²+1）的单调性 解法一：设 x1 < x2 f(x1) - f(x2) = x1/(x1²+1) - x2/(x2²+1) = [x1(x2²+1)-x2(x1²+1)] / [(x1²+1)(x2²+1)] = [x1x2(x2-x1)-x2+x1] / [(x1²+1)(x2²+1)] = (x2-x1)(x1x2-1) / [(x1²+1)(x2²+1)] 当 x 在区间 (1，+∞) 上时，上式 f(x1) - f(x2) > 0，f(x) 是减函数 当 x 在区间 (-∞，-1) 上时，上式 f(x1) - f(x2) > 0，f(x) 是减函数 当 x 在区间 (-1，1) 上时，上式 f(x1) - f(x2) < 0，f(x) 是增函数 解法二：（图像法） ∵f(-x) = -x/[(-x)²+1] = -x/(x²+1) = -f(x) ∴此函数是奇函数。 图像如下所示 用图像可得出结论： 当 x 在区间 (1，+∞) 上时，上式 f(x1) - f(x2) > 0，f(x) 是减函数 当 x 在区间 (-∞，-1) 上时，上式 f(x1) - f(x2) > 0，f(x) 是减函数 当 x 在区间 (-1，1) 上时，上式 f(x1) - f(x2) < 0，f(x) 是增函数 解法三：求导数，再由零点值，分区间讨论（略）