为什么只有形如3K,3K+1的平方数,而没有形如3K+2的平方数

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 12:22:26
为什么只有形如3K,3K+1的平方数,而没有形如3K+2的平方数

为什么只有形如3K,3K+1的平方数,而没有形如3K+2的平方数
为什么只有形如3K,3K+1的平方数,而没有形如3K+2的平方数

为什么只有形如3K,3K+1的平方数,而没有形如3K+2的平方数
整数被3除,只有三种可能,即3k、3k+1、3k+2,因此,只需证明任何整数平方后都不可能是3n+2的形即可.
证明:∵整数被3除,只有三种可能性,即余数为0、1、2
可以表示为3k、3k+1、3k+2
∵(3k)2=9k2=3(3k2)
(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1
(3k+2)2=9k2+12k+4=9k2+12k+3+1=3(3k2+4k+1)+1
即被3除的任何整数平方后,只能是3n或3n+1的形式
∴形如3n+2的数不可能是完全平方数.
事实上,3k+2、4k+2、4k+3、5k+2、5k+3、8k+2、8k+3、8k+5、8k+6、8k+7、9k+2、9k+3、9k+5、9k+6、9k+8的数都不是完全平方数.