设2f(x)+xf(1/x)=x+1,则f(x)=?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 03:01:01
设2f(x)+xf(1/x)=x+1,则f(x)=?

设2f(x)+xf(1/x)=x+1,则f(x)=?
设2f(x)+xf(1/x)=x+1,则f(x)=?

设2f(x)+xf(1/x)=x+1,则f(x)=?
2f(x)+xf(1/x)=x+1 ..(1)
2f(1/x)+1/x*f(x)=1/x+1 ..(2)
(1)*2-(2)*x,得
4f(x)-f(x)=2x+2-x(1/x+1)
3f(x)=2x+2-1-x=x+1
f(x)=(x+1)/3
如仍有疑惑,欢迎追问.祝:

2f(x)+f(1/x)=x+1
以1/x代换x,得:
2f(1/x)+f(x)=(1/x)+1
这两个等式消去f(1/x),得:
3f(x)=2(x+1)-[(1/x)+1]
3f(x)=2x-(1/x)+1
f(x)=(2/3)x-[1/(3x)]+(1/3)

2f(x)+xf(1/x)=x+1 (1)
令x=1/x
则2f(1/x)+1/x*f(x)=1/x+1=(x+1)/x (2)
(2)×2 x-(1)
4xf(1/x)-xf(1/x)=2x+2-x-1
所以f(1/x)=(x+1)/(3x)=(1+1/x)/3
故有f(x)=(1+x)/3

用1/x代替x构成一个二元一次方程组求解即可

令1/x=t,则x=1/t,将其代入原式(1)中,则有(2)式:
2tf(1/t)+f(t)=t+1,将换回x,2xf(1/x)+f(x)=x+190......(3),再把f(x)与f(1/x)看成a、b,那就可以用(2)与(3)联立方程组求解出f(x)=(x+1)/3