作业帮再详细点大哥
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 09:10:15
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方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上.
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,2,3,5,7,等等.这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用.在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而,德国数学家黎曼(1826~1866)观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态.著名的黎曼假设断言,方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上.这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过.证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明.
黎曼zeta函数的所有非平凡零点在一条直线上。
如果只用文本写给你是什么意思，你自己都知道这是不可能的。黎曼假设和一般的数论猜想有一个不一样的地方。一般的数论的猜想没什么数学知识也可以理解，理解黎曼假设是需要一点复变函数的知识的，虽然其实也不多。黎曼zeta函数勉强可以写一下：
ζ(s)=∑1/n^s
s=σ+it
很明显，σ>1时这个函数收敛到一个值。σ=1时发散...
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黎曼zeta函数的所有非平凡零点在一条直线上。
如果只用文本写给你是什么意思，你自己都知道这是不可能的。黎曼假设和一般的数论猜想有一个不一样的地方。一般的数论的猜想没什么数学知识也可以理解，理解黎曼假设是需要一点复变函数的知识的，虽然其实也不多。黎曼zeta函数勉强可以写一下：
ζ(s)=∑1/n^s
s=σ+it
很明显，σ>1时这个函数收敛到一个值。σ=1时发散。研究σ<1情况需要解析拓延整个复平面上，否则没什么趣味了。这里什么是“解析拓延”你可能就不清楚，实际上是使用一中函数变换使得ζ在全平面上有意义。
那么什么是黎曼假设呢？我们知道（对你可能不明显，否则你不会到这里来让人用文字文本来解释了）所有负偶数时这个ζ(s)的零点，就是说ζ(s)在s取负偶数是为零（这是拓延后的事情，你先找本教科书弄清楚怎么拓延的）。但是黎曼通过一些计算发现，在σ=1/2的地方有一些分布相当不规则的零点，于是（黎曼的计算法建议去看专著，比如Edwards的一本——名字不记得了，好像叫Riemann's Zeta Function）提出这样的零点在而且只在这条σ=1/2的线上，这条线被称为critical line
这个函数，经过适当的变换，可以和数论中的几乎所有重要的数论函数（算术函数）有联系（比如它的倒数的展开式包含了莫比乌斯函数——你可以参考哈代的《数论导引》），所以Hadamard和de la Vallee Poussin使用ζ(s)在σ=1上没有零点证明了素数定理（可以看Apostol的《解析数论导论》）。并且，好像是von Koch吧，证明了在黎曼假设成立的情况下，素数定理将有最好的余项估计。
我想跟你再说点别的。我在这里写的再多，也只是让你继续迷糊，你还是不知道这个问题的有多美和多深奥。你应该去读一本复分析的教科书，比如Alfors的，至少先入门。如果说哥德巴赫猜想已经成为平民化的问题——一打民间数学家说自己证明了哥德巴赫猜想，那么这个黎曼假设就是数学精英们才能研究的殿堂级问题，自从这个假设诞生以来，没有一个大数学家不为之倾心。你可以看这方面的科普书，但估计没什么帮助。在这个问题面前，没有捷径。
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