作业帮如果实数X.Y 满足X²+Y²-4X+1=0 （1）求Y/X的最大值 （2）Y-X的最小值 (3)X²+Y²的最值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 17:14:23
如果实数X.Y 满足X²+Y²-4X+1=0 （1）求Y/X的最大值 （2）Y-X的最小值 (3)X²+Y²的最值
如果实数X.Y 满足X²+Y²-4X+1=0 （1）求Y/X的最大值 （2）Y-X的最小值 (3)X²+Y²的最值
如果实数X.Y 满足X²+Y²-4X+1=0 （1）求Y/X的最大值 （2）Y-X的最小值 (3)X²+Y²的最值
X²+Y²-4X+1=0
(X-2)²+Y² = 3
此为以 (2,0) 为圆心 r = √3 为半径的圆
(1)
设 y/x = k
y = kx 表示通过原点斜率为k的直线.
当直线与圆恰好相切时,斜率最大或最小
对于最大的斜率情况,倾斜角的正弦为
sinα = 半径/原点与圆心间距离 = √3 /2
α = 60 度
tanα = √3
Y/X的最大值√3
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(2)
设 Y - X = b 表示斜率为1截距为b的直线
截距最小（或最大）时,直线与圆相切
经过切点的半径所在直线方程为
y - 0 = (-1)(x-2)
y = 2-x
(X-2)²+Y² = 3
(X-2)² = 3/2
x = 2 ±√6/2
截距最小情况对应 x = 2 +√6/2
此时 y = 2 - x = -√6/2
通过切点 (2+√6/2,-√6/2) 且斜率为 1的直线方程为
y +√6/2 = x - (2 + √6/2)
y = x - (2 + √6)
截距 b 最小值为 -√6 -2
也就是 Y - X 最小值
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(3)
x² + y² 代表 原点到圆上任意一点的距离的平方
显然 最小值为
(2 - √3 )²
最大值为 (2 +√3)²
以上是利用平面几何来解决的.还可以用 代数 来解决
（1）以y=kx代入原方程,利用判别式≥0 求k的范围
（2）以y=x+b代入原方程,利用判别式≥0 求b的范围
(3) 利用 (X-2)²+Y² = 3 求出 x的取值范围,把x的取值范围代入到 X²+Y²= 4X-1 中求X²+Y²范围