如何证明蝴蝶定理?纯几何

如何证明蝴蝶定理?纯几何
如何证明蝴蝶定理?纯几何

如何证明蝴蝶定理?纯几何
蝴蝶定理：在圆O中,CD、EF为过AB弦的中点M的任意两条弦,连接CF、DE分别交AB于H、K,则有MK=MH.
已知：在圆O中,CD、EF为过AB弦的中点M的任意两条弦,连接CF、DE分别交AB于H、K.
求证：MK=MH.
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题,刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上,由于其几何图形形象奇特,酷似蝴蝶,因此而得名.历史上出现过许多优美奇特的解法,其中最早的应首推霍纳所给出的非初等的证法.至于初等数学的证法,在国外资料中,一般都认为是由一位中学数学教师斯特温首先提出的,他给出的是面积法的证明.
思路1：如图8-30甲所示,构造△MFH的全等△MGK；从四点共圆开始,再用四点共圆来证明∠MFH=∠MGK是关键；
证明1：过F作FG‖AB交⊙O于G,连接MG、KG、DG.
则∠AMF=∠MFG；∠BMG=∠MGF（平行线性质）；
在△AMF和△BMG中；
AM=MB；
∠FAM=∠GBM；（等弧对等角）
AF=BG； （等弧对等弦）
∴ △AMF≌△BMG；（SAS）
∴ ∠AMF=∠BMG；MF=MG；
∴ ∠AMF=∠MFG=∠FGM=∠GMB；
∵ E、F、G、D四点共圆；
∴ ∠MFG+∠KDG=180°
∴ ∠BMG+∠KDG=180°
∴ M、K、D、G四点共圆；
∴ ∠MDK=∠MGK；
∵ ∠MDK=∠MFH；（同弧上的圆周角相等）
∴ ∠MFH=∠MGK；
在△MFH和△MGK中；
∠FMH=∠GMK；
MF=MG；
∠MFH=∠MGK；
∴ △MFH≌△MGK；（ASA）
∴ MH=MK.
结论：根据圆的对称性,往左边作图也一定可以,构造△MDK的全等三角形.
思路2：如图8-30甲所示,根据圆的对称性,作出弦心距；从三角形相似再推导出三角形相似,由四点共圆,推导出∠MOH=∠MOK是关键；
证明2：过O作OS⊥FC、OT⊥DE、连OH、OK、SM、MT,再连MO.
∵ AM=MB；
∴ OM⊥AB、∠AMO=∠BMO=90°；
在△FCM和△DEM中；
∠CMF=∠DME；（对顶角相等）；
∠MFC=∠MDE；（等弧对等圆周角）
∴ △FCM∽△DEM；（AA）
∴ = ；
∵ FS=SC=FC；DT=TE=DE；
∴ = ；
在△FSM和△DTM中；
∠MFS=∠MDT；（等弧对等圆周角）；
= ；
∴ △FSM∽△DTM；（SAS）
∠FSM=∠DTM；
∠MSH=∠MTK；
∵ ∠AMO=90°、∠HSO=90°；O、S、H、M四点共圆；
∴ ∠MSH=∠MOH；
∵ ∠BMO=90°、∠KTO=90°；O、T、K、M四点共圆；
∴ ∠MTK=∠MOK；
∴ ∠MOH=∠MOK；
∴ M、H、G、F四点共圆；
∴ ∠MGH=∠MFH；
在△MOH和△MOK中；
∠MOH=∠MOK；
MO=MO；
∠AMO=∠BMO=90°；
∴ △MOH≌△MOK；（ASA）
∴ MH=MK.
结论：作出弦心距是最有效的辅助线,本证法的出发点是证明△HOK是等腰三角形,利用等腰三角形的三线合一性来证明最终的结论.该命题还有很多其他证法,不再赘述

证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。
∵△AMD∽△CMB
∴AM/CM=AD/BC
∵SD=1/2AD，BT=1/2BC
∴AM/CM=AS/CT 又∵∠A=∠C
∴△AMS∽△CMT
∴∠MSX=∠MTY
∵∠OMX=∠OSX=90°
...

全部展开

证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。
∵△AMD∽△CMB
∴AM/CM=AD/BC
∵SD=1/2AD，BT=1/2BC
∴AM/CM=AS/CT 又∵∠A=∠C
∴△AMS∽△CMT
∴∠MSX=∠MTY
∵∠OMX=∠OSX=90°
∴∠OMX+∠OSX=180°
∴O，S，X，M四点共圆 同理，O，T，Y，M四点共圆
∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX
∴∠MOX=∠MOY ，
∵OM⊥PQ
∴XM=YM

收起

证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。   ∵△AMD∽△CMB   ∴AM/CM=AD/BC   

∵SD=1/2AD，BT=1/2BC   ∴AM/CM=AS/CT   

又∵∠A=∠C   ∴△AMS∽△CMT   ∴∠MSX=∠MTY   

∵∠OMX=∠OSX=90°   ∴∠OMX+∠OSX=180°   ∴O，S，X，M四点共圆   

同理，O，T，Y，M四点共圆   ∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX   ∴∠MOX=∠MOY ，   ∵OM⊥PQ   ∴XM=YM   这个定理在椭圆中也成立，如图   1，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b＞r＞0）。   （Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；   

（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）。   求证：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)   （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。   求证： | OP | = | OQ |。   （证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）

用斯特温面积法可证

从X\,向AM\,和DM\,作垂线，设垂足分别为X'\,和X''\,。类似地，从Y\,向BM\,和CM\,作垂线，设垂足分别为Y'\,和Y''\,。

证明蝴蝶定理

现在，由于

        \triangle MXX' \sim \triangle MYY',\, 

    {MX \over MY} = {XX' \over YY'}, 

        \triangle MXX'' \sim \triangle MYY'',\, 

    {MX \over MY} = {XX'' \over YY''}, 

        \triangle AXX' \sim \triangle CYY'',\, 

    {XX' \over YY''} = {AX \over CY}, 

        \triangle DXX'' \sim \triangle BYY',\, 

    {XX'' \over YY'} = {DX \over BY}, 

从这些等式，可以很容易看出：

    \left({MX \over MY}\right)^2 = {XX' \over YY' } {XX'' \over YY''}, 

    {} = {AX.DX \over CY.BY}, 

    {} = {PX.QX \over PY.QY}, 

    {} = {(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)}, 

    {} = { (PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2}, 

由于PM \, = MQ \,

现在，

    { (MX)^2 \over (MY)^2} = {(PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2}. 

因此，我们得出结论： MX = MY \,，也就是说，M \,是XY \,的中点。

证毕。

http://baike.baidu.com/view/64379.html?wtp=tt参考这儿。