作业帮为什么多项式在实数范围内都能分解为一次因式及二次因式的乘积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 19:15:28
为什么多项式在实数范围内都能分解为一次因式及二次因式的乘积
为什么多项式在实数范围内都能分解为一次因式及二次因式的乘积
为什么多项式在实数范围内都能分解为一次因式及二次因式的乘积
这是错误的命题.
比如多项式 x^4+1 就不能分解成一次因式及二次因式的乘积
多项式=0，未知数无解，就不能分解为一次因式及二次因式的乘积
根据代数基本定理，复系数（当然包括实系数、整数系数）一元n次方程在复数范围内至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。因此n次多项式可唯一地分解为形如（x-p）的一次因式的乘积，这里p是复数。又，若方程有根a+bi,则一定有另一根a-bi。因此，在那些一次因式中把x-(a+bi)和x-(a-bi)都乘在一起，就会得到x^2-2ax+a^2+b^...
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根据代数基本定理，复系数（当然包括实系数、整数系数）一元n次方程在复数范围内至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。因此n次多项式可唯一地分解为形如（x-p）的一次因式的乘积，这里p是复数。又，若方程有根a+bi,则一定有另一根a-bi。因此，在那些一次因式中把x-(a+bi)和x-(a-bi)都乘在一起，就会得到x^2-2ax+a^2+b^2。这样在分解出来的因式中，就全部是实系数的一次因式和二次因式。
至于为什么虚根会共轭地成对出现，这样来证明：设你说的多项式为f(x)，现在证明它可以被[x-(a+bi)][x-(a-bi)]整除。假如f(x)=[x-(a+bi)][x-(a-bi)]Q(x)+(px+q)，那么由f(x)和[x-(a+bi)][x-(a-bi)]都是实系数多项式容易看出，Q(x)和(px+q)的各项系数也都是实数。若a+bi是方程的根，带入会得到0=f(a+bi)=0+p(a+bi)+q，即(pa+q)+pbi=0。因为b不是0，所以p和q都是0。因此f(a-bi)也是0，这样就说清楚了。
1楼的说法不对。 x^4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+√2x+1)(x^2-√2x++1)
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