作业帮用代数证明原始直角三角形的一些性质Primitive Pythagorean triple 就是原始的直角三角形(a,b,c),原始直角三角形的意思就是a,b,c是它的边,c是斜边,且a,b,c都是正整数.gcd(a,b,c)=1 的直角三角形.gcd = great
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 21:54:01
用代数证明原始直角三角形的一些性质Primitive Pythagorean triple 就是原始的直角三角形(a,b,c),原始直角三角形的意思就是a,b,c是它的边,c是斜边,且a,b,c都是正整数.gcd(a,b,c)=1 的直角三角形.gcd = great
用代数证明原始直角三角形的一些性质
Primitive Pythagorean triple 就是原始的直角三角形(a,b,c),原始直角三角形的意思就是a,b,c是它的边,c是斜边,且a,b,c都是正整数.gcd(a,b,c)=1 的直角三角形.gcd = greatest common divisor =最大公约数.
(1)证明:在原始直角三角形(a,b,c)里面,边a,b,c有且只有一个能被5整除.
(2)证明:在原始直角三角形(a,b,c)里面,斜边c不能被3整除,和a,b之中有一个可以被3整除.
用代数证明原始直角三角形的一些性质Primitive Pythagorean triple 就是原始的直角三角形(a,b,c),原始直角三角形的意思就是a,b,c是它的边,c是斜边,且a,b,c都是正整数.gcd(a,b,c)=1 的直角三角形.gcd = great
1 假设a、b、c都不能被5整除,由于a、b、c的形式可表示为5k+1,5k+2,5k+3,5k+4,k是非负整数
由于(5k+1)^2≡1^2≡1 (mod 5)
(5k+2)^2≡2^2≡4 (mod 5)
(5k+3)^2≡3^2≡4 (mod 5)
(5k+4)^2≡4^2≡1 (mod 5)
则a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)必能被5整除（因为c+b与c-b中必有一个能被5整除）,即a能被5整除,矛盾!所以a、b、c中有能被5整除的.
假设有一个以上的数能被5整除,我们知道被5整除的数的平方也能被5整除,那么它们的平方和或平方差也能被5整除,所以a、b、c三个数都能被5整除.这与gcd(a,b,c)=1矛盾!
所以a,b,c中有且仅有一个能被5整除
2 若a、b能同时被3整除,则c也能被3整除,与gcd(a,b,c)=1矛盾,所以a、b不能同时被3整除.
由于(3k+1)^2≡(3k+2)^2≡1 (mod 3)
所以a^2+b^2≡0+1≡1 (mod 3) 或者a^2+b^2≡1+1≡2 (mod 3)
即无论如何c不能被3整除
既然c不能被3整除,即a^2+b^2=c^2≡1 (mod 3),所以a^2、b^2中必有一个≡0 (mod 3),即必有一个能被3整除,且仅有一个.