作业帮数列递推公式难题?已知a(1)=m.a(n+1)=〔a*a(n)+b〕/〔c*a(n)+d〕 求an的通项公式?用 m a b c d 表示 a(1)和a(n+1)分别表示数列的第n项和第n+1项
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 14:36:44
数列递推公式难题?已知a(1)=m.a(n+1)=〔a*a(n)+b〕/〔c*a(n)+d〕 求an的通项公式?用 m a b c d 表示 a(1)和a(n+1)分别表示数列的第n项和第n+1项
数列递推公式难题?
已知a(1)=m.a(n+1)=〔a*a(n)+b〕/〔c*a(n)+d〕 求an的通项公式?用 m a b c d 表示
a(1)和a(n+1)分别表示数列的第n项和第n+1项
数列递推公式难题?已知a(1)=m.a(n+1)=〔a*a(n)+b〕/〔c*a(n)+d〕 求an的通项公式?用 m a b c d 表示 a(1)和a(n+1)分别表示数列的第n项和第n+1项
这种形式的递推式我有两种解法,待定系数法和不动点法,在此用不动点法解决此问题.
将原递推式中的a[n]与a[n+1]都用x代替得到方程x=(ax+b)/(cx+d)
即cx²+(d-a)x-b=0
记方程的根为x1,x2(为了简单起见,假设方程有两实根)
原方程可以变形为-x(a-cx)=b-dx
所以-x=(b-dx)/(a-cx),将x1,x2代入得到
-x1=(b-dx1)/(a-cx1)
-x2=(b-dx2)/(a-cx2)
将递推式两边同时减去x1得到a[n-1]-x1=[(a-cx1)a[n]+b-dx1]/(ca[n]+d)
即a[n-1]-x1=(a-cx1)[a[n]+(b-dx1)/(a-cx1)]/(ca[n]+d)
将-x1=(b-dx1)/(a-cx1)代入得到:
a[n-1]-x1=(a-cx1)(a[n]-x1)/(ca[n]+d)
同理:a[n-1]-x2=(a-cx2)(a[n]-x2)/(ca[n]+d)
两式相除得到(a[n+1]-x1)/(a[n+1]-x2)=[(a-cx1)/(a-cx2)]*[(a[n]-x1)/(a[n]-x2)]
从而{(a[n]-x1)/(a[n]-x2)}是等比数列
(a[n]-x1)/(a[n]-x2)=[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)
所以a[n]={x2*[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)-x1}/([(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)-1}
果然 高难度 我说的可能是错的 你看清楚了
a(1)*=m.a*(n1)=(a*a*n+a*a*b)/(c^a(n)=c^a(n)+b=n+1