高中数学有关于双曲线的公式

高中数学有关于双曲线的公式
高中数学有关于双曲线的公式

高中数学有关于双曲线的公式
定义4：在平面直角坐标系中,二元二次方程f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时,其图像为双曲线.
　　1.a、b、c不都是零.
　　2.b^2 - 4ac > 0.
　　3.a^2+b^2=c^2
　　在高中的解析几何中,学到的是双曲线的中心在原点,图像关于x,y轴对称的情形.这时双曲线的方程退化为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.
　　上述的四个定义是等价的,并且根据建好的前后位置判断图像关于x,y轴对称.
2 标准方程编辑本段
　　1,焦点在X轴上时为：
　　x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
　　2,焦点在Y 轴上时为：
　　y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1
3 主要特点编辑本段
3.1 1、轨迹上一点的取值范围：
　　│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）.
3.2 2、对称性：
　　关于坐标轴和原点对称.
3.3 3、顶点：
　　A(-a,0),A'(a,0）.同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a.
　　B(0,-b）,B'(0,b）.同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.
　　F1（-c,0）F2（c,0）.F1为双曲线的左焦点,F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c
　　对实轴、虚轴、焦点有：a^2+b^2=c^2
3.4 4、渐近线：
　　焦点在x轴：y=±（b/a)x.
　　焦点在y轴：y=±（a/b)x.圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时,表示双曲线.其中p为焦点到准线距离,θ为弦与x轴夹角.
　　令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角.θ=arccos（1/e)
　　令θ=0,得出ρ=ep/（1-e）,x=ρcosθ=ep/（1-e）
　　令θ=PI,得出ρ=ep/（1+e）,x=ρcosθ=-ep/（1+e）
　　这两个x是双曲线定点的横坐标.
　　求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
　　x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
　　（注意化简一下）
　　直线ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
　　是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴.
　　将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是θ’
　　则θ’=θ-[PI/2-arccos（1/e)]
　　则θ=θ’+[PI/2-arccos（1/e)]
　　代入上式：
　　ρcos{θ’+[PI/2-arccos（1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
　　即：ρsin[arccos（1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
　　现在可以用θ取代式中的θ’了
　　得到方程：ρsin[arccos（1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
　　现证明双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1 上的点在渐近线中　　
　　设M(x,y）是双曲线在第一象限的点,则
　　y=(b/a）√（x^2-a^2） (x>a)
　　因为x^2-a^20)
　　而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)
　　但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的
　　因为xy = c的对称轴是 y=x,y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴,y轴
　　所以应该旋转45度
　　设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针）
　　（a为双曲线渐进线的倾斜角）
　　则有
　　X = xcosa + ysina
　　Y = - xsina + ycosa
　　取 a = π/4
　　则
　　X^2 - Y^2 = (xcos（π/4） + ysin（π/4）)^2 -(xsin（π/4） - ycos（π/4）)^2
　　= （√2/2 x + √2/2 y)^2 -（√2/2 x - √2/2 y)^2
　　= 4 （√2/2 x) （√2/2 y)
　　= 2xy.
　　而xy=c
　　所以
　　X^2/（2c) - Y^2/（2c) = 1 (c>0)
　　Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c1；
　　在双曲线的线上称为双曲线上,则有x^2/a^2-y^2/b^2=1；
　　在双曲线所夹的区域称为双曲线外,则有x^2/a^2-y^2/b^2

F1（-c,0）、F2（c,0）是双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0,c^2=a^2＋b^2）的2焦点
P（x0,y0）为C上的一点，我们称｜PF1｜、｜PF2｜为双典线的焦半径，则｜PF1｜=±（a＋ex0）,｜PF2｜=±（ex0-a）,（e=c/a为离心率）．当点在双曲线的右支上时取“＋”．当点在双曲线的左支上时取“-”．
在平面直角坐标系...

全部展开

F1（-c,0）、F2（c,0）是双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0,c^2=a^2＋b^2）的2焦点
P（x0,y0）为C上的一点，我们称｜PF1｜、｜PF2｜为双典线的焦半径，则｜PF1｜=±（a＋ex0）,｜PF2｜=±（ex0-a）,（e=c/a为离心率）．当点在双曲线的右支上时取“＋”．当点在双曲线的左支上时取“-”．
在平面直角坐标系中，二元二次方程h(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。 　　
1. a,b,c不都是0。 　
　2. b^2 - 4ac > 0。 　
　在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。 　　
双曲线的简单几何性质
1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）。 　　 2、对称性：关于坐标轴和原点对称。 　
3、顶点：A(-a,0)， A'(a,0)。同时 AA'叫做双曲线的实轴且∣AA'│=2a. 　　B(0,-b)， B'(0,b)。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b. 　　
4、渐近线： 　　　
焦点在x轴：y=±(b/a)x. 　　
焦点在y轴：y=±(a/b)x.
圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角 　　令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos(1/e) 　　令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e 　　令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e 　　这两个x是双曲线定点的横坐标。 　　求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标） 　　x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 　　（注意化简一下） 　　直线ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 　　是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。 　　将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’ 　　则θ’=θ-[PI/2-arccos(1/e)] 　　则θ=θ’+[PI/2-arccos(1/e)] 　　代入上式： 　　ρcos{θ’+[PI/2-arccos(1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 　　即：ρsin[arccos(1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 　　现在可以用θ取代式中的θ’了 　　得到方程：ρsin[arccos(1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 　　现证明双曲线x^2/a^2-y^/b^2=1 上的点在渐近线中 　　　设M(x,y)是双曲线在第一象限的点，则 　　y=(b/a)√(x^2-a^2) (x>a) 　　因为x^2-a^2特点：（1）共渐近线 　　（2）焦距相等 　　（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1 　　9、准线： 焦点在x轴上：x=±a^2/c 　　焦点在y轴上：y=±a^2/c 　　10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦） 　　d=2b^2/a　 　　11、过焦点的弦长公式： 　　d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 　　12、弦长公式： 　　d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下： 　　由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 　　得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 　　分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ] 　　稍加整理即得： 　　|AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²) 　　·双曲线的标准公式与反比例函数 　　　X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 　　而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0) 　　但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的 　　因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴 　　所以应该旋转45度 　　设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针） 　　(a为双曲线渐进线的倾斜角) 　　则有 　　X = xcosa + ysina 　　Y = - xsina + ycosa 　　取 a = π/4 　　则 　　X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2 　　= (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2 　　= 4 (√2/2 x) (√2/2 y) 　　= 2xy. 　　而xy=c 　　所以 　　X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0) 　　Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0) 　　由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.编辑本段·双曲线焦点三角形面积公式
　　若∠F1PF2=θ, 　　则S△F1PF2=b^2;·cot（θ/2) 　　·例：已知F1、F2为双曲线C：x^2;-y^;=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多 　　少？ 　　由双曲线焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b^2;·cot（θ/2)=1×cot30°， 　　设P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=½×F1F2×h=½2√2×h=√3， h=√6/2
·双曲线参数方程
　　双曲线的参数方程:x=a secθ (正割) y=b tanθ ( a为实半轴长， b为虚半轴长， θ为参数。)

收起