求点p(2,3,1)到直线(x+y–z+1=0,2x-y+z-4=0)的距离,

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 20:27:41
求点p(2,3,1)到直线(x+y–z+1=0,2x-y+z-4=0)的距离,

求点p(2,3,1)到直线(x+y–z+1=0,2x-y+z-4=0)的距离,
求点p(2,3,1)到直线(x+y–z+1=0,2x-y+z-4=0)的距离,

求点p(2,3,1)到直线(x+y–z+1=0,2x-y+z-4=0)的距离,
方法一：在直线上取点 Q（1,2,4）,则向量 PQ=（-1,-1,3）,
而直线的方向向量为 v=（1,1,-1）×（2,-1,1）=（0,-3,-3）,
因此,n1=PQ×v=（12,-3,3）,
所以,n2=v×n1=（-18,-36,36）,
所求距离为 PQ 在 n2 上的投影的绝对值,
即所求 P 到直线的距离为 d=|PQ*n2| / |n2|=|18+36+108| / 54=3 .
方法二：直线的方向向量为 v=（1,1,-1）×（2,-1,1）=（0,-3,-3）,
因此过 P 且与直线垂直的平面方程为 -3(y-3)-3(z-1)=0 ,
与直线方程联立,可求得交点 M（1,1,3）,
因此所求距离为 d=|PM|=√[(2-1)^2+(3-1)^2+(1-3)^2]=3 .

原理和平面内点到直线距离一样。
d=│AXo+BYo+CZo+D│ / √（A²+B²+C²）

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