刘老师咨询你一个线性代数的问题由二次型f=2x1^2+3x2^2+3x3^2+2ax2x3（a>0）经过正交变换化为标准型f=y1^2+2y2^2+5y3^2求a以及正交变换矩阵

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 11:55:59

刘老师咨询你一个线性代数的问题由二次型f=2x1^2+3x2^2+3x3^2+2ax2x3（a>0）经过正交变换化为标准型f=y1^2+2y2^2+5y3^2求a以及正交变换矩阵
刘老师咨询你一个线性代数的问题
由二次型f=2x1^2+3x2^2+3x3^2+2ax2x3（a>0）经过正交变换化为标准型f=y1^2+2y2^2+5y3^2求a以及正交变换矩阵

刘老师咨询你一个线性代数的问题由二次型f=2x1^2+3x2^2+3x3^2+2ax2x3（a>0）经过正交变换化为标准型f=y1^2+2y2^2+5y3^2求a以及正交变换矩阵
解: 二次型的矩阵 A=
2 0 0
0 3 a
0 a 3
由已知, A 的特征值为 1,2,5, 且a>0
所以有 |A-E|=0
而 |A-E| = 2^2 - a^2
所以 a = 2.

A=
2 0 0
0 3 2
0 2 3

A-E =
1 0 0
0 2 2
0 2 2
r3-r2,r2*(1/2)
1 0 0
0 1 1
0 0 0
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(0,1,-1)'.

A-2E =
0 0 0
0 1 2
0 2 1
r3-2r2
0 0 0
0 1 2
0 0 -3
r3*(-1/3),r2-2r3
0 0 0
0 1 0
0 0 1
(A-2E)X=0 的基础解系为 a2=(1,0,0)'.

A-5E =
-3 0 0
0 -2 2
0 2 -2
r1*(-1/3),r3+r2,r2*(-1/2)
1 0 0
0 1 -1
0 0 0
(A-5E)X=0 的基础解系为 a3=(0,1,1)'.

a1,a2,a3 单位化得
b1=(0,1/√2,-1/√2)'
b2=(1,0,0)'
b3=(0,1/√2,1/√2)'
令 Q = (b1,b2,b3), 则 Q 是正交矩阵, 且Q^-1AQ = diag(1,2,5).
故 X=QY 是正交变换, 满足 f = y1^2+2y2^2+5y3^2.

刘老师咨询你一个线性代数的问题由二次型f=2x1^2+3x2^2+3x3^2+2ax2x3（a>0）经过正交变换化为标准型f=y1^2+2y2^2+5y3^2求a以及正交变换矩阵刘老师麻烦您一下,线性代数二次型问题.若二次型 f 的规范形为y1^2+y2^2,那么2 * y1^2+ 2 * y2^2是否也是 f 的规范型? 刘老师,咨询一个线性代数的问题.已知Ax=0的解是Bx=0的解那么(A+B)x=0与Ax=0是否同解? 线性代数中,实二次型化为标准型的一个问题, 线性代数二次型问题线性代数关于二次型的问题刘老师您好,这里有一个线性代数的问题请教您为什么a能由向量组I的极大无关组线性表出,则a能由I线性表出? 线性代数：刘老师在不在呀能不能讲解一下二次型,实在不懂,还有做二次型相关题目的用到公式定理什么的, 刘老师,如何快速求一个二次型的正惯性指数?如 f=x1x2+x1x3+x2x3的正惯性指数线性代数二次型问题,划线部分根据什么来的? 线性代数二次型问题.用配方法化下列二次型喂标准型,并写出相应的初等变换.f=x1x2+x2x3+x3x4. 线性代数n元实二次型问题刘老师,我想请教一个线性代数问题,为什么增光矩阵的行列式不等于零了,就得到下面的增广矩阵的秩和A的秩了呢? 刘老师,我这里有两道线性代数的问题想问问.证明题第二题. 关于线性代数的题目,求刘老师解答刘老师,有几个线性代数的请教您. 关于线性代数,二次型的一个习题求解如图如何利用反证法证明“若二次型正定,则二次型对应标准型的系数全为正”?请给出详细证明,同济五版《线性代数》给出的证明没看懂.谢谢刘老师!