已知a,b为正实数,求证a^ab^b>=a^bb^a
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 19:47:42
已知a,b为正实数,求证a^ab^b>=a^bb^a
已知a,b为正实数,求证a^ab^b>=a^bb^a
已知a,b为正实数,求证a^ab^b>=a^bb^a
一、当a=b>0时,显然有:(a^a)(b^b)=(a^b)(b^a).
二、当a>b>0时,有:a^b>0、b^a>0、a/b>1、a-b>0,
∴b^(a-b)>0、(a/b)^(a-b)>1,
∴a^(a-b)>b^(a-b),
∴(a^a)/(a^b)>(b^a)/(b^b),
∴(a^a)(b^b)>(a^b)(b^a).
三、当b>a>0时,将上述二中的a、b互换,即可得:(a^a)(b^b)>(a^b)(b^a).
∴当a、b均为正数时,(a^a)(b^b)≧(a^b)(b^a).
根据对称性,不妨设a≥b,要证明原不等式只要证明a^ab^b-a^bb^a≥0
只要证明a^(a-b)·b^(b-a)≥0
只要证明(a/b)^(a-b)≥0
由a≥b>0可知a/b≥1且a-b≥0
所以(a...
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根据对称性,不妨设a≥b,要证明原不等式只要证明a^ab^b-a^bb^a≥0
只要证明a^(a-b)·b^(b-a)≥0
只要证明(a/b)^(a-b)≥0
由a≥b>0可知a/b≥1且a-b≥0
所以(a/b)^(a-b)≥0,因此原不等式成立。(分析法)
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