作业帮如何证已知n是大于1的整数,求证:n的立方可以写成两个正整数的平方差
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 19:59:44
如何证已知n是大于1的整数,求证:n的立方可以写成两个正整数的平方差
如何证已知n是大于1的整数,求证:n的立方可以写成两个正整数的平方差
如何证已知n是大于1的整数,求证:n的立方可以写成两个正整数的平方差
证明：n^3 = a^2-b^2
n^3可以看作n*n^2,设两个正整数的平方差表示为a^2-b^2,根据平方差公式把它变形为(a+b)*(a-b),则原命题转化成n*n^2=(a+b)*(a-b)
因为n是大于1的正整数,a,b也都为正整数,可知(a+b)>(a-b),n^2>n
那么只要保证(a+b)=n^2
(a-b)=n
原命题就得证了.
解出这个方程组：a = (n^2+n)/2
b = (n^2-n)/2
也就是说分解成的a,b两个数只要满足a = (n^2+n)/2
b = (n^2-n)/2
就可保证 n^3 = a^2-b^2 成立
事实上,这两个等式分别可看作以n为变量,a,b分别是n对应的函数值,为两条抛物线,就是说只要n给定一个正整数值,a,b分别有且只有一个正整数值与之对应.（无论n是奇数还是偶数,n^2与n必定同奇同偶,两者相加或相减则必为偶数,所以不必担心a,b可能不是正整数）然后根据上面式子倒推上去,得到 n^3 = a^2-b^2
Q.E.D
举例说明：当n=7（我的幸运数字）时,a=(7^2+7)/2=28
b=(7^2-7)/2=21
则 a^2-b^2 = 28^2-21^2 = (28+21)*(28-21)=49*7 = 7^2 * 7 = 7^3
这里他为什么要规定n要是大于1的正整数呢?那是因为当n=1时,a=(1^2+1)/2=1 ,b=(1^2-1)/2=0 ,则 a^2-b^2 = 1^2-0^2 ,零不能作为底数,这个式子是没有意义的,所以n=1不符合这个定理.
回答完毕,
忘记叫什么证法了？好像是先由最小的证起，如2的立方等于3的平方减去1的平方，然后假设n为k时结论成立，只要证明n=k+1时结论也成立，那么n为任意整数都成立，好像是高三学的吧，记不清了。。。