作业帮一道高数题,求导数看B2.9题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 07:29:22
一道高数题,求导数看B2.9题
一道高数题,求导数
看B2.9题
一道高数题,求导数看B2.9题
如图,有点粗糙.嘿嘿
没人能看见,得把题目打出来.
f(x+y) = e^x f(y) + e^y f(x)
对x求偏导（把y看成常数）
f'(x+y) = e^x f(y) + e^y f'(x)
再令x=0
f'(y) = e^0 f(y) + e^y f'(0) = f(y) + e^y
因为y可以是任意常数，所以上式是恒成立的
即f'(x)满足f'(x) = f(x) + e^x
解这...
全部展开
f(x+y) = e^x f(y) + e^y f(x)
对x求偏导（把y看成常数）
f'(x+y) = e^x f(y) + e^y f'(x)
再令x=0
f'(y) = e^0 f(y) + e^y f'(0) = f(y) + e^y
因为y可以是任意常数，所以上式是恒成立的
即f'(x)满足f'(x) = f(x) + e^x
解这个微分方程得
f(x) = (x+C)e^x
f'(x) = (x+1+C)e^x
收起
两边同时除以e^(x+y)
得f(x+y)/e^(x+y)=f(x)/e^x+f(y)/e^y
令f(x)/e^x=g(x)，由此可得g(x+y)=g(x)+g(y) x=y=0时 g(0)=0
变形f（x）=g(x)e^x
所以f'(x）=g'(x)e^x+g(x)e^x，取x=0，f'(0)=g'(0)+g(0)=1 所以g'(0)=1
令y=t 则g...
全部展开
两边同时除以e^(x+y)
得f(x+y)/e^(x+y)=f(x)/e^x+f(y)/e^y
令f(x)/e^x=g(x)，由此可得g(x+y)=g(x)+g(y) x=y=0时 g(0)=0
变形f（x）=g(x)e^x
所以f'(x）=g'(x)e^x+g(x)e^x，取x=0，f'(0)=g'(0)+g(0)=1 所以g'(0)=1
令y=t 则g(x+t)=g(x)+g(t) g(t+x)-g(x)=g(t)
所以g'(x)=lim（t趋向于0）(g(t+x)-g(x))/t=lim(t趋向于0)g(t)/t=lim(t趋向于0）g(t)-g(0))/(t-0)=g'(0)=1
由g'(x)=1 两边积分 所以g（x）=x+c
当x=0时可知道 c=0
所以g（x）=x
所以f(x)=xe^x
收起