作业帮求两道关于数列通项公式的题的解法.1）数列{An}满足：A1=0.5,A1+A2+A3+……+An=（n平方）An,求通项公式.2）已知正数数列{An}中,A1=1,(An)平方 -2AnSn+1=0,求通项公式.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 15:53:49
求两道关于数列通项公式的题的解法.1）数列{An}满足：A1=0.5,A1+A2+A3+……+An=（n平方）An,求通项公式.2）已知正数数列{An}中,A1=1,(An)平方 -2AnSn+1=0,求通项公式.
求两道关于数列通项公式的题的解法.
1）数列{An}满足：A1=0.5,A1+A2+A3+……+An=（n平方）An,求通项公式.
2）已知正数数列{An}中,A1=1,(An)平方 -2AnSn+1=0,求通项公式.
求两道关于数列通项公式的题的解法.1）数列{An}满足：A1=0.5,A1+A2+A3+……+An=（n平方）An,求通项公式.2）已知正数数列{An}中,A1=1,(An)平方 -2AnSn+1=0,求通项公式.
由于有些符号在这里不好叙述,小弟将解答保存在图片里了：
第一问中,a1=1/2和a2=1/6也都满足通项an=1/n(n+1),故不用但提出来写,直接一个公式就可以了.
1）a1+a2+a3+…+an=n^2an
a1+a2+a3+…+a(n-1)=（n-1）^2a(n-1)
两式相减，则an=n^2an-（n-1）^2a(n-1)
可得（n^2-1）an=（n-1）^2a(n-1)
则（n+1)an=（n-1）a(n-1)
an/a(n-1)=（n-1）/（n+1)
用迭乘的方法求得：
an=a1（1/3）...
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1）a1+a2+a3+…+an=n^2an
a1+a2+a3+…+a(n-1)=（n-1）^2a(n-1)
两式相减，则an=n^2an-（n-1）^2a(n-1)
可得（n^2-1）an=（n-1）^2a(n-1)
则（n+1)an=（n-1）a(n-1)
an/a(n-1)=（n-1）/（n+1)
用迭乘的方法求得：
an=a1（1/3）（2/4)（3/5）。。。＝(n-2)/n(n+1)(n＞2）
当n=1时，an＝0.5
当n=2时，an＝1/6
2）(An)^2-2AnSn+1=0
[Sn-S(n-1)]^2-2[Sn-S(n-1)]*Sn+1=0
化简得：
(Sn)^2-[S(n-1)]^2=1
(Sn)^2为等差数列，公差=1，S1=A1=1
所以，(Sn)^2=n
Sn=√n，S(n-1)=√(n-1)
又(Sn)^2-[S(n-1)]^2=1=[Sn-S(n-1)]*[Sn+S(n-1)]=An*[Sn+S(n-1)]
所以，An=1/[Sn+S(n-1)]=1/[√n+√(n-1)]=√n-√(n-1)
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