作业帮已知x1,x2,x3,...,x2010,x2011属于R 求证：已知x1,x2,x3,...,x2010,x2011属于R 求证:x1^2/x2+x2^2/x3+x3^2/x4+...+x2010^2/x1≥x1+x2+x3+...+x2010+x2011都是正实数，有木有人有思路！
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 14:57:28
已知x1,x2,x3,...,x2010,x2011属于R 求证：已知x1,x2,x3,...,x2010,x2011属于R 求证:x1^2/x2+x2^2/x3+x3^2/x4+...+x2010^2/x1≥x1+x2+x3+...+x2010+x2011都是正实数，有木有人有思路！
已知x1,x2,x3,...,x2010,x2011属于R 求证：
已知x1,x2,x3,...,x2010,x2011属于R 求证:x1^2/x2+x2^2/x3+x3^2/x4+...+x2010^2/x1≥x1+x2+x3+...+x2010+x2011
都是正实数，有木有人有思路！
已知x1,x2,x3,...,x2010,x2011属于R 求证：已知x1,x2,x3,...,x2010,x2011属于R 求证:x1^2/x2+x2^2/x3+x3^2/x4+...+x2010^2/x1≥x1+x2+x3+...+x2010+x2011都是正实数，有木有人有思路！
很有规律啊
基本不等式
a+b>=2根号(a*b)
x1^2/x2+x2>=2根号(x1^2/x2 *x2)=2根号(x1^2)=2x1 (x1>0)
等号成立时x1^2/x2=x2,即x1=x2
同理
x2^2/x3+x3>=2x2
...
x2010^2/x2011 +x2011>=2 x2010
x2011^2/x1+x1>=2 x2011
左右都累加
得
x1^2/x2+x2^2/x3+x3^2/x4+...+x2011^2/x1 + (x1+x2+...+x2011)>=2(x1+x2+...+x2011)
所以
x1^2/x2+x2^2/x3+x3^2/x4+...+x2011^2/x1≥x1+x2+x3+...+x2010+x2011
下证等号可能成立
因为第一个不等式等号成立条件为x1=x2,第二个是x2=x3,...最后一个是x2011=x1
所以等号成立条件即为x1=x2=...=x2011
所以
x1^2/x2+x2^2/x3+x3^2/x4+...+x2011^2/x1≥x1+x2+x3+...+x2010+x2011
由二元均值不等式 得
:x1^2/x2+x2≥2 x1
x2^2/x3+x3≥2 x2
....
x2011^2/x1+x1≥2 x2011
把上面2011个式子相加即可。
利用基本不等式：
(x1²)/(x2)＋x2≥2x1
(x2²)/(x3)＋x3≥2x2
(x3²)/(x4)＋x4≥2x3
……
(x2009²)/(x2010)＋x2010≥2x2009
(x2010²)/(x2009)＋x2009≥2x2010
(x2011²)/(x...
全部展开
利用基本不等式：
(x1²)/(x2)＋x2≥2x1
(x2²)/(x3)＋x3≥2x2
(x3²)/(x4)＋x4≥2x3
……
(x2009²)/(x2010)＋x2010≥2x2009
(x2010²)/(x2009)＋x2009≥2x2010
(x2011²)/(x1)＋x1≥2x2011
全部相加，得：
(x1²)/(x2)＋(x2²)/(x3)＋…＋(x2011²)/(x1)＋(x1＋x2＋…＋x2011)≥2(x1＋x2＋…＋x2011)
即：
(x1²)/(x2)＋(x2²)/(x3)＋…＋(x2011²)/(x1)≥x1＋x2＋x3＋…＋x2011
请参考……
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