A、B均为锐角,且A+B=π/4求证(1+tanA)(1+tanB)=2

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 12:34:23
A、B均为锐角,且A+B=π/4求证(1+tanA)(1+tanB)=2

A、B均为锐角,且A+B=π/4求证(1+tanA)(1+tanB)=2
A、B均为锐角,且A+B=π/4求证(1+tanA)(1+tanB)=2

A、B均为锐角,且A+B=π/4求证(1+tanA)(1+tanB)=2
A+B=π/4
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=tanπ/4=1
所以tanA+tanB=1-tanAtanB
(1+tanA)(1+tanB)
=1+tanA+tanB+tanAtanB
=1+(1-tanAtanB)+tanAtanB
=2

证明:有和角公式tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) , tanπ/4=1
和角公式变形:tanA+tanB=1-tanAtanB
又因为(1+tanA)(1+tanB)=1+(tanA+tanB)+tanAtanB=1+(1-tanAtanB
)+tanAtanB=2

分解左式得:
1+tanA+tanB+tanAtanB
=1+(sinAcosB+cosAsinB+sinAsinB)/cosAcosB
=1+[cos(A+B)]/cosAcosB+sinAsinB/cosAcosB
因为 [cos(...

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分解左式得:
1+tanA+tanB+tanAtanB
=1+(sinAcosB+cosAsinB+sinAsinB)/cosAcosB
=1+[cos(A+B)]/cosAcosB+sinAsinB/cosAcosB
因为 [cos(A+B)]/cosAcosB=(cos(π/2))/cosAcosB=0
=1+sinAsinB/cosAcosB
因为 sinA=cosB , sinB=cosA
=1+1
=2

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