作业帮[在线等!]数列bn满足b1=1,b(n+1)-bn=(1/2)的n次方（n≥1）,求数列bn的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 02:16:50
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[在线等!]数列bn满足b1=1,b(n+1)-bn=(1/2)的n次方（n≥1）,求数列bn的通项公式
[在线等!]数列bn满足b1=1,b(n+1)-bn=(1/2)的n次方（n≥1）,求数列bn的通项公式
[在线等!]数列bn满足b1=1,b(n+1)-bn=(1/2)的n次方（n≥1）,求数列bn的通项公式
b(n+1)-bn=(1/2)^n
则：
b(n)-b(n-1)=(1/2)^(n-1) (1)
b(n-1)-b(n-2)=(1/2)^(n-2) (2)
……
b(2)-b(1)=(1/2)^(1) (n-1) n>1
b(1)=1 (n)
(1)到(n)求和：
(1)+(2)+……+(n)得：
b(n)-b(n-1)+b(n-1)-b(n-2)+……+b(2)-b(1)+b(1)=(1/2)^(n-1) +(1/2)^(n-2) +……+1/2+1
左边=b(n),右边（等比数列）=1-(1/2)^(n-1)+1=2-(1/2)^(n-1)
所以b(n)=2-(1/2)^(n-1),n>1
n=1时,b（1）=1,适合上式,
故b(n)=2-(1/2)^(n-1)
n=1时，b1=1；n>=2时，bn=[bn-b(n-1)]+[b(n-1)-b(n-2)]+...+(b2-b1)+b1
=(1/2)^(n-1)+(1/2)^(n-2)+...+1/2+1
...
全部展开
n=1时，b1=1；n>=2时，bn=[bn-b(n-1)]+[b(n-1)-b(n-2)]+...+(b2-b1)+b1
=(1/2)^(n-1)+(1/2)^(n-2)+...+1/2+1
=[1-(1/2)^n]/1-1/2]
=2-2(1/2)^n
又n=1时，b1=2-2(1/2)1=1
所以bn=2-(1/2)^n，(n是正整数）
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