作业帮已知两个自然数差为6,它们的最大公约数与最小公倍数之和为126,则这两个自然数为
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 21:30:09
已知两个自然数差为6,它们的最大公约数与最小公倍数之和为126,则这两个自然数为
已知两个自然数差为6,它们的最大公约数与最小公倍数之和为126,则这两个自然数为
已知两个自然数差为6,它们的最大公约数与最小公倍数之和为126,则这两个自然数为
设它们的最大公约数为n,这两个自然数分别为an和bn(a与b互质),它们的最小公倍数为abn,
an-bn=6
abn+n=126
n(a-b)=6
n(ab+1)=126
当n=1,2,3,6,分别代入,
1,2,3无正整数解
当n=6
a-b=1
ab+1=21
联立方程解得a=5 ,b=4
5×6=30, 4×6=24
这两个数分别为30和24
24 和 30
两个自然数差为6，他们的最大公约数最大为6，
首先想到这两个数是6的倍数，
假设他们的最大公约数就是6，那么最小公倍数为120
他们除去最大公约数的乘积为120/6=20
20=4*5
所以两个数为4*6=24
5*6=30
两个自然数的差也一定是它们的最大公约数的倍数，因此，这两个数的最大公约数可能是1、2、3、6。验证可知只有6符合条件（恕不一一验证，仅举一例：如果它们的最大公约数是3，那么最小公倍数是123,3×123=3×3×41，在3、3、41中可能出现的两个数最大只能是9和41，它们的差不等于6）。而最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的积，说明这两个数的积是6×120=720=2×2×2×2×3×3×5，...
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两个自然数的差也一定是它们的最大公约数的倍数，因此，这两个数的最大公约数可能是1、2、3、6。验证可知只有6符合条件（恕不一一验证，仅举一例：如果它们的最大公约数是3，那么最小公倍数是123,3×123=3×3×41，在3、3、41中可能出现的两个数最大只能是9和41，它们的差不等于6）。而最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的积，说明这两个数的积是6×120=720=2×2×2×2×3×3×5，组合可知这两个数为24和30（如果你是初中生，当然可以用方程求得结果）。
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设最大公约数x，这两个自然数分别为mx、nx，(m、n互质)，则：
mx-nx=6，x+mnx=126，
——》(m-n)x=6=1*6=2*3，即：m-n可能为1、2、3、6
(1+mn)/(m-n)=21，
m-n=1时，mn=20，解得：m=5，n=4，x=6；
m-n=2时，mn=41，无整数解，
m-n=3时，mn=62，无整数解，
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设最大公约数x，这两个自然数分别为mx、nx，(m、n互质)，则：
mx-nx=6，x+mnx=126，
——》(m-n)x=6=1*6=2*3，即：m-n可能为1、2、3、6
(1+mn)/(m-n)=21，
m-n=1时，mn=20，解得：m=5，n=4，x=6；
m-n=2时，mn=41，无整数解，
m-n=3时，mn=62，无整数解，
m-n=6时，mn=125，无整数解，
所以两个自然数分别为30、24。
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