作业帮定点P到等边三角形ABC的两顶点距离为:AP=2,BP=3,当此正三角形边长可改变时,求PC的最大值,并证之.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 19:49:13
定点P到等边三角形ABC的两顶点距离为:AP=2,BP=3,当此正三角形边长可改变时,求PC的最大值,并证之.
定点P到等边三角形ABC的两顶点距离为:AP=2,BP=3,当此正三角形边长可改变时,求PC的最大值,并证之.
定点P到等边三角形ABC的两顶点距离为:AP=2,BP=3,当此正三角形边长可改变时,求PC的最大值,并证之.
由AP=2,BP=3,可得1≤AB≤5（在△ABP中,两边之差小于第三边,两边之和大于第三边,若ABP三点在一条直线上,则取等号.）
如图1,固定A点,则P点的轨迹是以A点为圆心半径为2的圆,C点的轨迹在与射线AB成60°角的两条射线AC和AC'上,在研究PC最大值时,由对称性,不妨只取P点轨迹圆的上半圆弧（重点）,连接对应的一对CC'交AB于H,作PG⊥CC'于G,则
∵CG=CH+GH＞C'H - GH=C'G
∴PC²=CG²+PG²＞C'G²+PG²=PC'²
∴PC＞PC'
于是研究PC最大值时,C点轨迹可以不再考虑AC',只考虑AC,即C点轨迹只取在下半支射线上的部分（重点）.
如图2,以A为原点,AB为横轴正向建立平面直角坐标系,令B（a,0）其中1≤a≤5,
则易得C（a/2,-√3a/2）,再令P（x,y）其中y≥0,则由AP=2,BP=3可得
x²+y²=4 ①
(x-a)²+y²=9
x²+y²+a²-2ax=9 ②
PC²=(x-a/2)²+(y+√3a/2)²=x²-ax+a²/4+y²+√3ay+3a²/4=x²+y²+a²-ax+√3ay ③
②-①得
a²-2ax=5
ax=(a²-5)/2 ④
②乘3a²得
3a²x²+3a²y²+3a^4-6a³x=27a²
整理得
√3ay =√(-3a^4/4+39a²/2-75/4) ⑤（此处用到y≥0判断正负）
将①④⑤代入③得
PC²=4+a²-(a²-5)/2+√(-3a^4/4+39a²/2-75/4)
令D=PC²=a²/2+13/2+√(-3a^4/4+39a²/2-75/4) ⑥
对a求导并令
D'=a+(-3a³+39a)/[2√(-3a^4/4+39a²/2-75/4)]=0 ⑦(极值条件)
由1≤a≤5知a≠0,于是整理上式得
a^4-26a²+133=0
解得a²=19 （a²=7是整理过程中平方法根式有理化产生的增根,舍去.）
此时（重点）,a=√19也满足1≤a≤5,再将⑦对a求导可算出
D''= -76/9＜0 （计算过程略）
可知D取得极大值,也是最大值.
将a²=19代入⑥可算出
PC²=25
PC=5